2.2. Интеграл

Определения и обозначения

Первообразная — функция, производная которой равна данной функции на рассматриваемом промежутке. Если F′(x)=f(x), то F — первообразная f. Это понятие нужно, чтобы обратить дифференцирование и по известной скорости изменения восстановить исходную зависимость.

Неопределённый интеграл — множество всех первообразных данной функции, записываемое с произвольной постоянной C. Например, если F′(x)=f(x), то ∫f(x)dx=F(x)+C. Такая запись позволяет не потерять остальные функции с той же производной.

Определённый интеграл — число, выражающее накопленный результат изменения функции на отрезке от a до b; его обозначают ∫ₐᵇf(x)dx. Пределы указывают, на каком отрезке рассматривается накопление. В отличие от неопределённого интеграла, результат здесь не содержит C.

Формула Ньютона—Лейбница — способ вычислить определённый интеграл через значения первообразной на концах отрезка: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Она превращает задачу о накоплении на всём отрезке в два вычисления. Поэтому важно правильно найти первообразную и подставить пределы в нужном порядке.

Как это устроено

Дифференцирование показывает, как меняется функция в каждой точке, а поиск первообразной отвечает на обратный вопрос: какая функция могла иметь такую скорость изменения? Например, производная x³/3 равна x², поэтому x³/3 — первообразная для x². Обратная операция не восстанавливает единственную функцию: при дифференцировании любая добавленная константа исчезает. Именно поэтому первообразных обычно целое семейство.

Если F′(x)=f(x), то и (F(x)+C)′=f(x), поскольку производная постоянной равна нулю. Разные первообразные одной функции отличаются только постоянным слагаемым на рассматриваемом промежутке: их графики получаются вертикальными сдвигами друг друга. Неопределённый интеграл записывает их все сразу. Без +C запись утверждала бы, что найдено только одно значение семейства.

Геометрически определённый интеграл связан с площадью криволинейной трапеции — фигуры между графиком, осью Ox и вертикальными прямыми x=a и x=b. Если f(x) неотрицательна, интеграл равен площади этой фигуры: тонкие полоски под графиком складываются в общее накопление. Если график опускается ниже оси Ox, соответствующий вклад считается отрицательным. Поэтому при смене пределов интегрирования направление суммирования меняется, а знак результата становится противоположным.

Формула Ньютона—Лейбница связывает две стороны интеграла: накопление на отрезке и первообразную. Если F′=f, то ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a), то есть значение в начале отрезка вычитают из значения в конце. Постоянная из неопределённого интеграла здесь не нужна: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a). Можно выбрать любую удобную первообразную.

Линейность позволяет интегрировать выражение по частям: интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель выносится за знак интеграла. Это работает потому, что производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель сохраняется. Отрезок тоже можно разбить: ∫ₐᵇf(x)dx=∫ₐᶜf(x)dx+∫ᶜᵇf(x)dx. Такое разбиение удобно, если формула функции или её знак меняются в точке c.

На графике y=x² функция неотрицательна, а y=x³/3 — одна из её первообразных: производная второй функции равна первой. Площадь под параболой на отрезке от 0 до x накапливается по мере движения вправо, а значение первообразной показывает это накопление с точностью до постоянной. Для вычисления площади на конкретном отрезке достаточно вычесть значения первообразной на его концах.

Основные интегралы и правила интегрирования

Сначала проверь, к какому выражению относится подынтегральная функция, а затем убедись, что выполнены условия формулы. Для суммы раздели выражение на слагаемые и вынеси числовые коэффициенты. Полученный неопределённый интеграл проверь дифференцированием.

Разбор задач

Задача 1. Найти неопределённый интеграл ∫(3x²−4x+5)dx. Выражение является суммой трёх слагаемых, поэтому можно интегрировать каждое отдельно. Коэффициенты при x² и x удобно вынести перед соответствующими интегралами.

1. Запишем ∫(3x²−4x+5)dx=3∫x²dx−4∫x dx+5∫dx. Это применение линейности интеграла, оно помогает не пытаться подбирать первообразную всего выражения сразу.

2. По таблице получаем ∫x²dx=x³/3, ∫x dx=x²/2, а ∫dx=x. Подставим эти результаты: 3·x³/3−4·x²/2+5x.

3. Упростим выражение и добавим произвольную постоянную: x³−2x²+5x+C. Проверка производной даёт 3x²−4x+5, то есть исходную функцию.

Ответ: x³−2x²+5x+C.

Задача 2. Вычислить ∫₁³(2x+1)dx. Здесь требуется не семейство функций, а одно число на отрезке от 1 до 3. Сначала найдём первообразную, затем вычтем её значение в нижнем пределе из значения в верхнем.

1. Первообразная для 2x+1 равна x²+x, поскольку производная этой функции — 2x+1. Для вычисления определённого интеграла достаточно взять эту первообразную; постоянная при вычитании сократилась бы.

2. Применим формулу Ньютона—Лейбница: ∫₁³(2x+1)dx=(x²+x)|₁³. Запись означает, что сначала подставляем 3, а затем вычитаем результат подстановки 1.

3. Вычислим: (3²+3)−(1²+1)=12−2=10. Функция на этом отрезке положительна, поэтому положительный результат согласуется с тем, что площадь под графиком находится над осью Ox.

Ответ: 10.

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y=x², осью Ox и прямыми x=0 и x=2. Поскольку x² неотрицательно на всём отрезке [0; 2], площадь равна определённому интегралу от функции. Это позволяет заменить геометрическую задачу вычислением первообразной.

1. Запишем площадь как S=∫₀²x²dx. Выбираем пределы 0 и 2, потому что именно этими вертикальными прямыми ограничена фигура.

2. Первообразная x² — x³/3, значит, по формуле Ньютона—Лейбница S=(x³/3)|₀². Подстановка верхнего и нижнего пределов даёт 2³/3−0³/3.

3. Получаем S=8/3. Значение положительно, как и должна быть геометрическая площадь; это согласуется с тем, что график y=x² не опускается ниже оси Ox на рассматриваемом отрезке.

Ответ: 8/3 квадратной единицы.

Типичные ошибки

При вычислении неопределённого интеграла иногда забывают +C и записывают только одну первообразную. Так происходит, если воспринимать интеграл как отдельное вычисленное число, хотя здесь ответом является семейство функций. Проверка: прибавь к своему результату любую константу — производная не изменится, значит, она тоже должна быть учтена.

Формулу ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C применяют и при n=−1, хотя тогда в знаменателе получается ноль. Ошибка возникает из-за механического использования таблицы без проверки условия. Для x⁻¹=1/x нужна формула ∫(1/x)dx=ln|x|+C; правильность легко проверить производной логарифма.

При перестановке верхнего и нижнего пределов иногда оставляют знак интеграла прежним. Но изменение направления суммирования меняет знак: ∫ᵦₐf(x)dx=−∫ₐᵇf(x)dx. Проверяй порядок подстановки в формуле Ньютона—Лейбница: значение первообразной в верхнем пределе минус значение в нижнем.

Определённый интеграл принимают за площадь даже тогда, когда функция бывает отрицательной. Причина в том, что геометрическая площадь всегда неотрицательна, а интеграл учитывает расположение графика относительно оси Ox. Проверь знак функции на отрезке; если график пересекает ось, разбей интеграл в точке пересечения и сложи площади участков с положительным знаком.

Связь с другими темами

Для интегрирования нужны производная и таблица производных: первообразную находят, вспоминая, какая функция дала бы подынтегральную при дифференцировании. Также пригодятся свойства степенных, показательных и тригонометрических функций, встречающихся в основных формулах. Геометрический смысл определённого интеграла опирается на представление о площади криволинейной фигуры. Позже интеграл используют при вычислении площадей и объёмов, решении дифференциальных уравнений и описании накопленных величин в физике.

Что запомнить

• Первообразная функции f — это функция F, для которой F′(x)=f(x).
• Неопределённый интеграл записывается как F(x)+C.
• Определённый интеграл имеет числовое значение и пределы интегрирования.
• ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a).
• При перестановке пределов определённый интеграл меняет знак.
• Интеграл суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
• Площадь под графиком неотрицательной функции вычисляется определённым интегралом.