"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Определённый интеграл помогает вычислять площади фигур с криволинейными границами и объёмы тел, которые трудно разбить на простые части. Площадь под графиком неотрицательной функции равна интегралу этой функции, а площадь между графиками — интегралу разности верхней и нижней функций. Объём тела вращения находят, складывая площади его тонких поперечных сечений. Во всех задачах нужны верные пределы и проверка знака.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции y = f(x), отрезком оси Ox и вертикальными прямыми x = a и x = b. Её площадь называют площадью криволинейной трапеции и обозначают S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Интеграл суммирует значения функции на всём отрезке, поэтому такая запись позволяет найти площадь даже при изогнутой верхней границе.
Площадь между графиками — площадь области, заключённой между графиками двух функций на выбранном отрезке. Если f(x) находится выше g(x), то S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Чтобы составить формулу, нужно определить, какая функция верхняя, иначе разность может дать отрицательный результат вместо геометрической площади.
Объём тела вращения — объём тела, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг заданной оси. Его находят интегрированием площадей поперечных сечений: V = ∫ₐᵇ S(x) dx, где S(x) — площадь сечения, перпендикулярного оси. При вращении вокруг Ox сечение часто является кругом, площадь которого равна πr²; такой способ работает и для тел с криволинейной поверхностью.
Чтобы связать интеграл с площадью, разобьём отрезок [a; b] на узкие части и над каждой построим прямоугольник высотой, примерно равной значению f(x). Сумма площадей прямоугольников приближает криволинейную фигуру: чем уже части, тем точнее приближение. При стремлении ширины частей к нулю эта сумма переходит в определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx. Неотрицательность f нужна, чтобы все высоты и вклады в сумму соответствовали обычной площади.
Если график опускается ниже Ox, значения функции становятся отрицательными, поэтому определённый интеграл учитывает площадь ориентированно: часть выше оси прибавляется, а часть ниже вычитается. Геометрическая площадь не может быть отрицательной. Для её нахождения нужно разделить отрезок в точках, где f(x) = 0, и сложить площади отдельных частей, взяв для нижней части противоположный знак интеграла. Так знак вычисления не перепутается со знаком реальной площади.
Площадь между двумя графиками находят похожим способом: в каждом узком вертикальном столбике высота равна разности значений верхней и нижней функций. Сначала решают уравнение f(x) = g(x), чтобы определить точки пересечения и возможные границы области. Затем на каждом полученном участке проверяют, какой график расположен выше, и интегрируют верхнюю функцию минус нижнюю. Если графики меняются местами, один интеграл на всём отрезке даст неверную разность, поэтому область нужно разбить.
Формулу объёма получают, представляя тело набором очень тонких слоёв. При вращении вокруг Ox слой перпендикулярен этой оси и имеет круговое сечение радиуса r(x), поэтому площадь сечения равна πr(x)². Объём тонкого слоя приближённо равен площади сечения, умноженной на его толщину. Складывая такие объёмы и переходя к пределу, получаем интеграл V = ∫ₐᵇ πr(x)² dx.
Пределы интегрирования выбирают по геометрии: ими могут быть вертикальные границы фигуры или абсциссы точек пересечения её границ. Перед вычислением полезно проверить, что на всём отрезке используется одна и та же формула подынтегральной функции, а для площади разность берётся в нужном порядке. Площадь и объём должны быть неотрицательными, поэтому отрицательный результат указывает на ошибку со знаком, границами или формулой. Проверка смысла результата часто обнаруживает ошибку ещё до подробных вычислений.
| Величина | Геометрическая ситуация | Формула | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Площадь под графиком | f(x) ≥ 0 на [a; b] | S = ∫ₐᵇ f(x) dx | Функция неотрицательна на всём отрезке |
| Площадь между графиками | Одна функция выше другой | S = ∫ₐᵇ (верхняя − нижняя) dx | Порядок графиков и точки пересечения |
| Объём при вращении вокруг оси Ox | Круговые сечения радиуса r(x) | V = ∫ₐᵇ πr(x)² dx | В квадрат возведён радиус, а не площадь |
| Границы интегрирования | Края фигуры или точки пересечения | Пределы [a; b] | Они соответствуют нужной части области |
| Знак подынтегрального выражения | Функция или разность может менять знак | Разбиение на участки при смене знака | Итоговые площадь и объём неотрицательны |
Сначала выбери строку, соответствующую геометрической задаче, затем запиши формулу и проверь перечисленные условия. Если знак функции или порядок графиков меняется, раздели область на части и рассчитай вклад каждой отдельно. Для объёма прежде всего определи радиус кругового сечения.
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. На отрезке [0; 2] значения x² неотрицательны, значит интеграл сразу даёт геометрическую площадь. Вычислим его по формуле Ньютона — Лейбница, используя первообразную.
Ответ: 8/3.
Задача 2. Найти площадь фигуры между графиками y = 2x и y = x². Точки пересечения задают границы области, а порядок графиков нужен для правильного знака разности. Сравним функции внутри найденного отрезка и интегрируем их разность.
Ответ: 4/3.
Задача 3. Найти объём тела, полученного вращением вокруг Ox фигуры под графиком y = √x, над осью Ox и ограниченной прямой x = 4. Левая граница области — x = 0, а радиус кругового сечения при каждом x равен √x. Поэтому интегрируем не радиус, а площадь круга.
Ответ: 8π.
Считать интеграл геометрической площадью, не проверив знак. Если график ниже Ox, интеграл на этом участке отрицателен; так происходит потому, что он учитывает ориентированную площадь. Ошибку допускают, когда механически применяют формулу для неотрицательной функции. Найди нули функции и проверь её знак на каждом участке.
Вычитать функции в произвольном порядке. Разность «нижняя минус верхняя» отрицательна, хотя площадь должна быть положительной. Обычно так происходит, если не сравнить графики внутри области. Подставь пробное значение x и убедись, что подынтегральная функция «верхняя минус нижняя» неотрицательна.
Не находить пересечения или не делить область при смене порядка графиков. Тогда пределы или формула разности могут охватить лишнюю часть области. Причина — попытка сразу записать один интеграл по внешним границам. Реши уравнение пересечения и проверь порядок функций на каждом участке.
Интегрировать радиус вместо площади сечения. Радиус описывает линейный размер круга, а объём складывается из площадей тонких слоёв. Такая ошибка возникает, если забыть формулу площади круга. Проверь, что в формуле объёма стоит πr(x)², а итог неотрицателен.
Для вычислений нужны первообразные и умение находить определённые интегралы: это алгебраическая часть решения геометрической задачи. Графики функций и решение уравнений помогают находить точки пересечения и устанавливать, какой график выше. Идея суммирования малых вкладов встречается и в физике: например, интеграл используют для вычисления перемещения по скорости и других величин, которые накапливаются непрерывно. Поэтому освоение площадей и объёмов помогает понимать интегральные модели в разных предметах.
Почему определённый интеграл иногда не равен площади фигуры?
Интеграл учитывает знак функции: участки графика ниже оси Ox дают отрицательный вклад. Геометрическая площадь всегда неотрицательна, поэтому при переходе через ось нужно разделить отрезок на части и сложить площади с учётом модулей.
Что делать, если график пересекает ось Ox внутри отрезка?
Найди точку или точки пересечения с осью, решив уравнение f(x) = 0. Разбей отрезок по этим точкам и на каждом участке определи знак функции; геометрическую площадь получай из интегралов с учётом этого знака.
Как понять, какую функцию вычитать из другой при вычислении площади?
На каждом участке сравни значения функций или посмотри на их графики. Из верхней функции вычитай нижнюю, чтобы подынтегральное выражение было неотрицательным.
Почему для объёма тела вращения интегрируют площадь сечения?
Тело можно мысленно разделить на тонкие слои, перпендикулярные оси вращения. Объём каждого тонкого слоя приблизительно равен площади его сечения, умноженной на толщину, а интеграл складывает вклады всех слоёв.
Как выбрать пределы интегрирования, если фигура ограничена двумя графиками?
Найди точки пересечения графиков: их абсциссы часто задают левую и правую границы области. Если между точками пересечения графики меняются местами, раздели область на участки и задай пределы отдельно для каждого.
2.3. Применения интеграла
