"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Показательные и логарифмические уравнения помогают находить неизвестные, которые стоят в показателе степени или связаны с логарифмом. Одни уравнения решают, приводя степени к общему основанию и приравнивая показатели; в других помогает замена переменной. Для логарифмических уравнений сначала устанавливают область допустимых значений: аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания — положительными и не равными единице. Найденные решения проверяют в исходном уравнении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, например 2ˣ = 8. Если переменная стоит только в основании, как в x² = 9, это не показательное уравнение. Такое различие подсказывает, какие свойства применять: для показателя часто используют равенство степеней с общим основанием.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма или в его основании, например log₂(x − 1) = 3. Логарифм logₐ b определён, если b > 0, a > 0 и a ≠ 1. Определение помогает заменить логарифмическую запись равенством степеней, а свойства логарифмов — объединять или преобразовывать выражения.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения переменной, при которых выражения уравнения определены. В частности, аргумент каждого логарифма должен быть положительным, а его основание — положительным и не равным единице. ОДЗ находят до решения, чтобы исключить значения, которые нельзя подставлять в исходное уравнение.
Если a > 0 и a ≠ 1, то из равенства aᵘ = aᵛ следует u = v. Причина в том, что функция y = aˣ строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1, поэтому каждое положительное значение она принимает только один раз. Это позволяет перейти от равных степеней с одинаковым основанием к равенству показателей.
Если основания показательных выражений удаётся представить как степени одного числа, уравнение сводится к равенству показателей. Например, в 2ˣ = 8 записываем 8 = 2³, получаем 2ˣ = 2³ и приравниваем показатели: x = 3. Нельзя делать такой переход, пока основания различаются и не приведены к общему виду: равенство показателей само по себе не гарантирует равенства степеней.
Если привести все степени к одной основе нельзя, ищут повторяющееся выражение и вводят новую переменную. Например, если встречаются 3ˣ и 3²ˣ, можно положить t = 3ˣ, тогда 3²ˣ = t², и уравнение станет алгебраическим. Но такая замена ограничена условием t > 0, потому что степень положительного основания всегда положительна; найденные значения t, не удовлетворяющие условию, отбрасывают.
Логарифмическое уравнение можно решить по определению логарифма: logₐ b = c равносильно aᶜ = b при допустимых a и b. Либо применяют свойства, например logₐ u + logₐ v = logₐ(uv), если оба аргумента положительны. Поэтому сначала записывают ОДЗ, а при преобразованиях сохраняют условия на основания и аргументы.
После преобразований нужно проверить кандидатов в исходном уравнении. Объединение логарифмов допустимо только для положительных аргументов, а возведение обеих частей в степень иногда не сохраняет равносильность преобразования. Проверка показывает, удовлетворяет ли значение первоначальной записи и не нарушает ли ОДЗ.
| Тип уравнения | Условие или ограничение | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Показательные уравнения с одинаковыми основаниями | Основание положительно и не равно единице; выражения приведены к общей основе | Приравнять показатели | Верно ли преобразованы основания и решено ли полученное уравнение |
| Показательные уравнения с заменой переменной | Есть повторяющееся выражение aˣ; a > 0, a ≠ 1 | Ввести t = aˣ и решить уравнение относительно t | Условие t > 0 и соответствие возвращённого x исходному уравнению |
| Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма | Основание положительно и не равно единице, аргумент положителен | Заменить logₐ b = c равенством aᶜ = b | ОДЗ и исходное уравнение |
| Логарифмические уравнения, решаемые с помощью свойств логарифмов | Аргументы логарифмов положительны; основания допустимы | Объединить или преобразовать логарифмы по свойствам | ОДЗ и каждый кандидат в исходной записи |
Сначала определите тип уравнения и проверьте ограничения, а затем выберите подходящий приём. Если есть повторяющаяся степень, пригодится замена; если логарифм равен числу — попробуйте определение. В любом случае сверяйте итог с условиями в таблице и исходным уравнением.
Здесь неизвестная находится в показателе, а правую часть легко представить степенью двойки. После этого обе части будут иметь одинаковое основание. Тогда можно приравнять показатели и решить простое линейное уравнение.
Ответ: x = 2. Проверка подтверждает равенство в исходном уравнении. Никаких дополнительных ограничений на x здесь нет, поскольку степень 2ˣ⁺¹ определена при любом действительном x.
Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому сначала получаем x − 1 > 0. Затем используем определение логарифма: равенство log₂(x − 1) = 3 означает, что 2³ = x − 1. Найденное значение обязательно сверяем с ОДЗ.
Ответ: x = 9. Положительность основания 2 и условие 2 ≠ 1 также соблюдены. Поэтому решение допустимо и является корнем исходного уравнения.
В уравнении два логарифма с одинаковым основанием, поэтому их можно объединить в один, но сначала нужно выяснить, при каких x определены оба выражения. Условия x − 1 > 0 и x + 1 > 0 вместе дают x > 1. После объединения решаем уравнение и отбрасываем значения, не попавшие в ОДЗ.
Ответ: x = 3. Отрицательное значение появилось при решении квадратного уравнения, но аргументы логарифмов при нём не положительны. Поэтому проверить только полученное квадратное уравнение недостаточно: нужно учитывать ОДЗ и исходную запись.
Приравнивать показатели степеней с разными основаниями без преобразования — неверно, потому что равенство aᵘ = bᵛ не означает u = v. Часто так делают, перенося знакомый приём на неподготовленные основания. Проверьте себя: перед сравнением показателей убедитесь, что обе степени записаны с одним основанием, положительным и не равным единице.
При замене t = aˣ нельзя считать, что t может быть любым числом: при a > 0 значение степени всегда положительно. Ограничение забывают, потому что после замены решают обычное алгебраическое уравнение. Запишите рядом t > 0 и проверьте, удовлетворяют ли ему все найденные значения.
Применение свойств логарифмов без проверки аргументов и оснований может дать недопустимый корень. Причина в том, что свойства действуют для определённых логарифмов, а не для любых выражений. Сначала составьте ОДЗ и после решения сравните каждый кандидат с полученными ограничениями.
Если не подставить найденные значения в исходное уравнение, можно принять посторонний корень за ответ. Такие значения могут появиться после преобразований, которые не равносильны исходным при всех числах. Проверяйте кандидатов в исходной записи и отбрасывайте те, при которых выражение не определено или равенство неверно.
Для решения этих уравнений нужны свойства степеней и логарифмов, определение логарифма и общие правила решения уравнений. Умение находить ОДЗ связывает тему с преобразованием выражений и проверкой их допустимости. Показательные и логарифмические уравнения применяются дальше при решении неравенств и исследовании соответствующих функций. Они также описывают некоторые прикладные зависимости, например рост или изменение величин со временем.
Почему при решении уравнения с одинаковыми основаниями можно приравнять показатели?
При основании a > 0, a ≠ 1 функция aˣ принимает каждое положительное значение ровно один раз. Поэтому из равенства aᵘ = aᵛ следует u = v.
Как понять, что в показательном уравнении нужна замена переменной?
Замена удобна, когда в уравнении несколько раз повторяется одно и то же выражение, например aˣ, и уравнение можно переписать через него как алгебраическое. Если t = aˣ, обязательно учитывайте условие t > 0.
Зачем находить ОДЗ до решения логарифмического уравнения?
ОДЗ сразу исключает значения, при которых логарифмы не определены. Так проще контролировать преобразования и не принять недопустимое значение за корень.
Может ли после преобразований логарифмического уравнения появиться посторонний корень?
Да. Например, объединение логарифмов без учёта ограничений или возведение обеих частей в степень может привести к значению, не подходящему исходному уравнению. Поэтому кандидаты на корни проверяют в исходной записи и на ОДЗ.
Когда логарифмическое уравнение удобнее решать по определению логарифма?
Этот способ удобен, когда уравнение содержит один логарифм, равный числу, или его легко привести к такому виду. Тогда запись logₐ b = c заменяют равенством aᶜ = b, сохраняя условия на основание и аргумент.
3.1. Показательные и логарифмические уравнения
