"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Показательные и логарифмические неравенства содержат переменную в показателе степени или под знаком логарифма. Их решение опирается на свойства соответствующих функций: при основании больше 1 они возрастают, а при основании от 0 до 1 убывают. Поэтому при переходе к сравнению показателей или аргументов может сохраниться или измениться знак неравенства. Для логарифмов сначала обязательно находят область допустимых значений: проверяют основание и аргумент. Эти правила помогают решать неравенства и проверять, что ответ не содержит недопустимых значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное неравенство — это неравенство, в котором переменная входит в показатель степени, например aˣ > 5. Основание показательной функции должно быть положительным и не равным 1: a > 0, a ≠ 1. Это определение помогает узнать, когда можно применять свойства функции aˣ и сводить сравнение степеней к сравнению показателей.
Логарифмическое неравенство содержит логарифм, в котором переменной может быть аргумент или основание, например log₂(x − 1) ≥ 3. Для logₐ b основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1, а аргумент b должен быть положительным. Проверка этих условий показывает, для каких значений переменной неравенство вообще имеет смысл.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — множество значений переменной, при которых все выражения неравенства определены. Для логарифмов отдельно записывают ограничения на основания и на аргументы, а затем объединяют их. ОДЗ нужна, чтобы отсеять недопустимые значения после преобразований и не включить их в ответ.
Если обе части неравенства представлены степенями с одинаковым положительным основанием, сравнение можно перенести на показатели. Причина в том, что значения функции aˣ упорядочены так же, как x, когда функция возрастает, и в обратном порядке, когда она убывает. При a > 1 знак сохраняется, а при 0 < a < 1 меняется. Поэтому до сравнения показателей обязательно выясняют, к какому из этих случаев относится основание.
При разных основаниях напрямую сравнивать показатели нельзя: основание тоже влияет на значение степени. Иногда основания удаётся представить как степени одного числа, после чего выражения приводятся к общему основанию. Если это невозможно, можно рассмотреть замену переменной, например t = aˣ, или сравнить выражения с помощью свойств функций. Выбранный способ должен учитывать, какие значения может принимать новая переменная.
В логарифмическом неравенстве сначала находят ОДЗ, потому что вне неё логарифм не определён и исходное выражение не существует. Затем используют монотонность logₐ x: при a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Это следует из того, что логарифм является обратной функцией к показательной, сохраняющей или обращающей порядок в зависимости от основания. Значит, основание определяет, сохранится ли знак при переходе к аргументам.
Логарифмы с одинаковым основанием можно сравнить по аргументам только при условии, что оба аргумента положительны и основание допустимо. Например, из logₐ f(x) > logₐ g(x) при a > 1 следует f(x) > g(x), а при 0 < a < 1 — f(x) < g(x). Сначала записывают все условия ОДЗ, затем выполняют сравнение и сохраняют эти условия до конца решения. Так переход не добавляет к ответу значений, при которых логарифмы не существуют.
Замена переменной упрощает неравенство, если повторяющееся выражение можно обозначить одной буквой. Например, при t = aˣ всегда t > 0; для замены t = logₐ x требуется x > 0, а область значений t зависит от самого выражения и ограничений задачи. После решения относительно t нужно перевести результат обратно в условие для исходной переменной. Если этого не сделать, решение останется ответом для новой переменной, а не для исходной задачи.
| Вид неравенства | Условие на основание | Переход к сравнению | Что проверить |
|---|---|---|---|
| aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ | a > 0, a ≠ 1 | a > 1: f(x) > g(x); 0 < a < 1: f(x) < g(x) | Основание положительно и не равно 1 |
| logₐ f(x) > logₐ g(x) | a > 0, a ≠ 1 | a > 1: f(x) > g(x); 0 < a < 1: f(x) < g(x) | Оба аргумента положительны; основание допустимо |
Сначала найдите нужную строку по виду исходного неравенства, а затем проверьте условие на основание. Переход к сравнению задаёт новое неравенство, а столбец проверки напоминает об ограничениях, которые нельзя отбросить. Для логарифмов ограничения на аргументы нужно записать отдельно как ОДЗ.
Решить неравенство 3⁽²ˣ − ¹⁾ > 3⁽ˣ ⁺ ²⁾. Основание 3 положительно и больше 1, поэтому функция 3ˣ возрастает. Значит, большему значению степени соответствует больший показатель, и знак неравенства при сравнении показателей сохранится.
Ответ: x > 3.
Решить неравенство (½)⁽ˣ − ¹⁾ ≤ (½)⁽²ˣ ⁺ ³⁾. Основание ½ положительно и меньше 1, поэтому соответствующая показательная функция убывает. Следовательно, при переходе к сравнению показателей знак неравенства нужно изменить.
Ответ: x ≤ −4.
Решить неравенство log₂(x − 1) + log₂(x + 1) ≥ 3. Сначала находим ОДЗ: оба аргумента должны быть положительными, поэтому x − 1 > 0 и x + 1 > 0, вместе это даёт x > 1. Поскольку логарифмы имеют одинаковое основание, их можно объединить, а основание 2 больше 1.
Ответ: x ∈ [3; +∞).
Сравнивать показатели степеней с основанием от 0 до 1, не меняя знак, — ошибка: функцию aˣ воспринимают как возрастающую при любом основании. Проверьте основание перед переходом; если 0 < a < 1, функция убывает и знак меняется. Для самопроверки подставьте простые показатели: при основании ½ значение степени с показателем 2 меньше, чем с показателем 1.
Переходить от логарифмов к сравнению аргументов без проверки основания тоже неверно. Такое действие переносят с возрастающего логарифма на убывающий, хотя при 0 < a < 1 направление противоположное. Перед сравнением укажите, больше основание 1 или меньше. Затем сверьте знак с правилом монотонности.
Забывать ОДЗ или учитывать только знак аргумента опасно: у логарифма должны быть допустимы и основание, и аргумент. Запишите a > 0, a ≠ 1 и положительность каждого аргумента, содержащего переменную. В конце проверьте, не осталось ли в ответе значений вне этих условий. Решение преобразованного неравенства без пересечения с ОДЗ может содержать лишние значения.
Для решения этих неравенств нужны свойства степеней и определение логарифма, включая условия его существования. Монотонность функции объясняет, почему сравнение показателей или аргументов иногда меняет направление неравенства. Полученные приёмы пригодятся при исследовании показательных и логарифмических функций, а также при решении смешанных уравнений и неравенств. Эти темы связывает общий навык: преобразовывать выражения, не теряя ограничений и учитывая поведение функции.
Почему при основании меньше 1 знак неравенства меняется?
При основании 0 < a < 1 функция aˣ убывает: большему показателю соответствует меньшее значение степени. Поэтому из aᵘ > aᵛ следует u < v. Убывает и функция logₐ x, поэтому при сравнении аргументов логарифмов знак также меняется.
Можно ли сравнивать показатели, если основания степеней разные?
Напрямую сравнивать показатели обычно нельзя: например, сравнение 2ˣ и 3ˣ не сводится к сравнению одинаковых показателей. Попробуйте привести степени к общему основанию. Если это не удаётся, используют замену переменной или свойства функций.
Зачем находить ОДЗ до решения логарифмического неравенства?
ОДЗ сразу задаёт значения переменной, при которых логарифмы существуют. В неё входят условия на положительность аргументов и на основание логарифма. Без этих ограничений преобразования могут привести к значениям, которые не являются решением исходного неравенства.
Что делать, если в неравенстве логарифмы с разными основаниями?
Свести такие логарифмы к сравнению аргументов напрямую нельзя. Сначала проверьте ОДЗ, затем попробуйте применить формулу перехода к новому основанию или преобразовать выражения с помощью свойств логарифма. Направление неравенства при этом нужно обосновывать отдельно.
Нужно ли проверять найденные значения по ОДЗ в конце?
Да. Решение преобразованного неравенства пересекают с ОДЗ, то есть оставляют только допустимые значения переменной. Если ОДЗ уже учтена на каждом шаге и записана вместе с решением, в конце достаточно убедиться, что ответ ей не противоречит.
3.2. Показательные и логарифмические неравенства
