"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Производные показательной и логарифмической функций показывают, как быстро меняются эти функции при изменении аргумента. Для eˣ производная совпадает с самой функцией, а для aˣ появляется множитель ln a. Производные логарифмов содержат обратную величину аргумента. Эти формулы позволяют находить скорости изменения сложных выражений, исследовать их возрастание и убывание, определять экстремумы и решать прикладные задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательной называют функцию y = aˣ, где основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1. Её область определения — все действительные числа: показатель x может быть любым. Основание выбирают положительным, чтобы степень с любым вещественным показателем имела смысл. Такие функции описывают, например, процессы роста и убывания, меняющиеся пропорционально своему текущему значению.
Особый случай — функция y = eˣ, где e — число, приблизительно равное 2,718. Его выбирают так, что производная функции eˣ совпадает с самой функцией. Это свойство делает основание e особенно удобным при дифференцировании и объясняет, почему натуральный логарифм ln x определяют как логарифм по основанию e. Для eˣ, как и для любой показательной функции, область определения — ℝ.
Логарифмическая функция y = logₐ x обратна функции y = aˣ: логарифм показывает, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x. Здесь a > 0, a ≠ 1, а аргумент должен быть положительным, поэтому область определения — x > 0. Обратные функции связывают значения и аргументы исходных функций. Натуральный логарифм ln x — это logₑ x.
Производная логарифмической функции описывает скорость изменения её значения при изменении аргумента. Для натурального логарифма формула такова: (ln x)' = 1/x при x > 0. Для логарифма с основанием a получаем (logₐ x)' = 1/(x ln a), если a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Условия здесь не формальность: они задают, где сама функция определена и формулу можно применять.
Начнём с производной eˣ по определению: это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Для приращения h такое отношение равно eˣ(eʰ − 1)/h. При h → 0 множитель (eʰ − 1)/h стремится к единице именно потому, что основание e выбрано соответствующим образом. Оставшийся множитель eˣ не зависит от h, поэтому предел равен eˣ. Так особый выбор основания приводит к формуле (eˣ)' = eˣ.
Любую показательную функцию можно переписать как aˣ = e^(x ln a). Здесь показатель x ln a — сложная функция: сначала x умножается на ln a, затем вычисляется экспонента. По правилу производной сложной функции производная внешней eᵘ умножается на производную внутренней части, равную ln a. Получаем (aˣ)' = e^(x ln a) ln a = aˣ ln a. Если a = e, то ln a = 1, и формула становится частным случаем для eˣ.
Чтобы найти производную ln x, используем, что эта функция обратна eˣ. Если y = ln x, то x = eʸ; дифференцируя равенство по x, получаем 1 = eʸy'. Значит, y' = 1/eʸ, а поскольку eʸ = x, выходит (ln x)' = 1/x. Это рассуждение допустимо для x > 0: только на положительных значениях определён ln x и существует соответствующее обратное значение.
Логарифм с основанием a выражается через натуральный: logₐ x = ln x / ln a. Поскольку ln a — постоянное число, при дифференцировании оно остаётся в знаменателе, а производная ln x равна 1/x. Поэтому (logₐ x)' = 1/(x ln a). Условие a ≠ 1 гарантирует, что ln a не равен нулю, а x > 0 обеспечивает существование логарифма.
Если вместо x в формулу подставлена функция u(x), нужно учитывать изменение её значения. Правило цепочки даёт (eᵘ)' = eᵘu' и (aᵘ)' = aᵘ ln a · u'. Для логарифмов оно приводит к (ln u)' = u'/u и (logₐ u)' = u'/(u ln a). Перед применением последних двух формул проверьте u(x) > 0: отрицательный или нулевой аргумент логарифма не входит в область определения.
Для ln x график растёт на всей положительной полуоси: его производная 1/x положительна при каждом x > 0. При этом сама производная убывает: по мере увеличения x скорость роста ln x становится меньше. На графике ниже показаны функция и её производная, чтобы сравнить их значения при одном и том же x.
| Функция | Условия | Производная |
|---|---|---|
| y = eˣ | x ∈ ℝ | y' = eˣ |
| y = aˣ | a > 0, a ≠ 1; x ∈ ℝ | y' = aˣ ln a |
| y = ln x | x > 0 | y' = 1/x |
| y = logₐ x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 | y' = 1/(x ln a) |
Сначала найди строку с нужным видом функции, затем проверь условия для основания и аргумента. Если в выражении вместо x стоит функция, используй соответствующую формулу вместе с производной внутреннего выражения. Производные логарифмов применяй только на тех значениях, где аргумент положителен.
Основание здесь равно 3, а не e, поэтому формула для eˣ напрямую не подходит. Применяем формулу (aˣ)' = aˣ ln a. Аргумент степени — x, его производная равна 1, поэтому дополнительных множителей от правила цепочки не появляется.
Ответ: y' = 3ˣ ln 3.
Аргумент логарифма — выражение 2x + 1, поэтому сначала выясняем, где оно положительно. Для производной используем формулу сложной функции: производная ln u равна u'/u. Здесь внутренняя функция u = 2x + 1, её производная равна 2; без этого множителя результат был бы неверным.
Ответ: область определения — x > −½; y' = 2/(2x + 1).
Сумма состоит из показательной и логарифмической частей, поэтому дифференцируем каждую отдельно, не смешивая их правила. В первой части показатель x² является сложной функцией; во второй сложным аргументом служит x − 1. Сначала проверяем область определения: для логарифма требуется x − 1 > 0, то есть x > 1.
Ответ: y' = 2x · 2^(x²) ln 2 + 1/((x − 1) ln 3), x > 1.
Ошибка: записать (aˣ)' = aˣ для любого основания. Это свойство верно только при a = e, ведь для общего основания формула содержит множитель ln a. Ошибку допускают, перенося формулу для eˣ на все показательные функции. Проверь себя, подставив основание: при a = 3 в производной должно остаться ln 3.
При дифференцировании eᵘ, aᵘ или ln u часто забывают умножить результат на u'. Так происходит, когда внутреннее выражение принимают за независимую переменную и не применяют правило цепочки. Раздели выражение на внешнюю функцию и аргумент, затем вычисли производную каждого уровня. Например, для ln(2x + 1) множитель 2 обязателен.
Формулу производной логарифма нельзя применять, не проверив знак его аргумента. Например, ln u определён только при u > 0, а при u = 0 или u < 0 исходная функция не существует. Причина ошибки — вычисление производной без учёта области определения самой функции. До дифференцирования составь неравенство u(x) > 0 и укажи его решение.
Формулы для ln x и logₐ x похожи, поэтому можно перепутать их и потерять ln a в знаменателе. Для натурального логарифма производная равна 1/x, а для основания a — 1/(x ln a). Чтобы проверить ответ, перепиши logₐ x как ln x / ln a и продифференцируй это выражение. Также убедись, что a > 0 и a ≠ 1.
Для работы с формулами нужны определение производной, правила дифференцирования и правило цепочки. При преобразованиях пригодятся свойства степеней и логарифмов, в частности равенства aˣ = e^(x ln a) и logₐ x = ln x / ln a. Освоенные производные используют при исследовании функций: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы. Эти же приёмы помогают решать прикладные задачи, где требуется оценить скорость изменения величины.
Почему производная e^x равна самой функции?
Число e выбрано так, что скорость изменения функции eˣ в каждой точке равна её значению. Это следует из предела определения производной: при таком основании предел отношения приращения функции к приращению аргумента равен 1. Поэтому (eˣ)' = eˣ.
Чем формула производной a^x отличается от формулы для e^x?
Для произвольного основания производная равна (aˣ)' = aˣ ln a. Множитель ln a показывает, как скорость изменения зависит от основания. При a = e имеем ln e = 1, поэтому формула превращается в (eˣ)' = eˣ.
Почему при дифференцировании логарифма появляется 1/x?
Логарифм ln x — обратная функция к eˣ, а производная обратной функции связана с обратной величиной производной исходной. Поскольку производная eˣ в соответствующей точке равна самому значению eˣ, для ln x получается 1/x. Формула действует при x > 0.
Как найти производную логарифма с основанием, отличным от e?
Сначала замените логарифм натуральным: logₐ x = ln x / ln a. Основание a — постоянное число, поэтому при дифференцировании делим производную ln x на ln a и получаем 1/(x ln a). Требуются a > 0, a ≠ 1 и x > 0.
Как проверить область определения перед применением формулы производной логарифма?
Запишите условие, что аргумент логарифма строго положителен. Например, для ln(2x + 1) нужно решить неравенство 2x + 1 > 0, то есть x > −½. Только на этой области можно применять формулу производной.
1.8. Производные показательной и логарифмической функций
