1.7. Логарифмическая функция

Определения и обозначения

Логарифмическая функция — функция вида y = logₐx, где a > 0 и a ≠ 1. Она сопоставляет каждому положительному x число y, определяемое основанием a. Это обозначение позволяет рассматривать логарифм не только как отдельное число, но и как зависимость от аргумента.

Число a называют основанием логарифма. Основание должно быть положительным и не равным единице; его выбор определяет, возрастает функция или убывает. Поэтому при исследовании графика сначала проверяют, к какому из двух промежутков относится a: a > 1 или 0 < a < 1.

Запись logₐx означает показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить x: если y = logₐx, то aʸ = x. Например, log₂8 = 3, так как 2³ = 8. Такое толкование помогает переводить логарифмические выражения в равенства степеней.

Область определения функции — все x > 0, а множество значений — все действительные числа. Положительность аргумента следует из того, что степень положительного основания всегда положительна. При этом показатель степени может быть любым действительным числом, поэтому ограничений на y нет.

Как это устроено

Логарифмическая функция получается из показательной y = aˣ как обратная ей. В записи y = aˣ меняют местами аргумент и значение: x = aʸ, а затем выражают y через логарифм и получают y = logₐx. Так каждому значению показательной функции соответствует исходный показатель, а две функции возвращают друг другу аргумент.

Аргумент логарифма обязан быть положительным, потому что x = aʸ, а при a > 0 степень aʸ положительна при любом действительном y. Следовательно, ни ноль, ни отрицательное число нельзя получить в правой части. Область значений, напротив, включает все действительные числа: для любого y можно вычислить положительное aʸ, а значит, y окажется значением логарифмической функции.

Если a > 1, показательная функция возрастает: большему показателю соответствует большее значение степени. При обращении функции местами меняются аргумент и значение, но порядок сохраняется, поэтому y = logₐx тоже возрастает. Например, если x₁ < x₂, то logₐx₁ < logₐx₂.

Если 0 < a < 1, показательная функция убывает: увеличение показателя уменьшает значение степени. У обратной функции сохраняется это направление изменения, поэтому логарифмическая функция также убывает. В частности, из logₐx₁ < logₐx₂ следует x₁ > x₂, и это нужно учитывать при решении неравенств.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x: каждой точке (u; v) одного графика соответствует точка (v; u) другого. Поэтому ось Oy, то есть x = 0, у показательной функции переходит в вертикальную асимптоту логарифмического графика x = 0. График логарифма приближается к этой прямой, но не пересекает её, поскольку ноль не входит в область определения.

Свойства логарифмической функции y = logₐx

Используйте таблицу после проверки условия a > 0 и a ≠ 1: оно подскажет нужный столбец. Затем по строке найдите область определения, направление изменения или знак функции. Точка (1; 0) подходит для обоих случаев, потому что logₐ1 = 0.

Разбор задач

Значение и характеристики функции

Условие. Для функции y = log₂x укажите область определения, множество значений и вычислите значение при x = 8.

1. Проверяем основание: 2 > 0 и 2 ≠ 1, значит, функция определена.
2. Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому область определения — x > 0.
3. Показатель степени может быть любым действительным числом, следовательно, множество значений — все действительные числа.
4. Подставляем x = 8: y = log₂8. Ищем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 8; поскольку 2³ = 8, значение равно 3.

Ответ: область определения — x > 0; множество значений — ℝ; при x = 8 значение функции равно 3.

Схематический график

Условие. Постройте схематически график y = log₃x и отметьте точки для x = 1, 3 и 1/3.

1. Так как 3 > 1, график возрастает; его область определения — x > 0.
2. Вычисляем значения: log₃1 = 0, поскольку 3⁰ = 1; log₃3 = 1; log₃(1/3) = −1, поскольку 3⁻¹ = 1/3.
3. Отмечаем точки (1; 0), (3; 1) и (1/3; −1), затем проводим через них плавную возрастающую кривую.
4. При приближении x к нулю справа график приближается к прямой x = 0, но не касается её.

Ответ: график проходит через (1; 0), (3; 1) и (1/3; −1), возрастает и имеет вертикальную асимптоту x = 0.

Сравнение и неравенство

Условие. Сравните log₁/₂(1/4) и log₁/₂8, затем решите неравенство log₁/₂x > −2.

1. Основание 1/2 находится между 0 и 1, поэтому логарифмическая функция убывает.
2. Вычисляем первое значение: (1/2)⁻² = 4, значит, log₁/₂(1/4) = 2. Второе значение равно −3, так как (1/2)⁻³ = 8. Следовательно, 2 > −3.
3. В неравенстве сравниваем log₁/₂x с −2. Поскольку функция убывает, переход к аргументам меняет направление: x < (1/2)⁻² = 4.
4. Добавляем область определения логарифма: x > 0. Вместе условия дают 0 < x < 4.

Ответ: log₁/₂(1/4) > log₁/₂8; решение неравенства — 0 < x < 4.

Типичные ошибки

Указывать x ∈ ℝ как область определения — значит забыть ограничение на аргумент. Такая ошибка возникает, когда принимают любые действительные значения переменной без проверки записи логарифма. Проверьте себя: под логарифмом должно стоять строго положительное выражение.

Считать, что логарифмическая функция всегда возрастает, неверно: направление зависит от основания. Часто переносят монотонность функции logₐx с одного знакомого примера на все основания. Сравните a с единицей: при a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

При основании 0 < a < 1 нельзя переходить от сравнения логарифмов к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства. Причина в том, что функция убывает и большему аргументу соответствует меньшее значение. Для проверки возьмите, например, log₁/₂1 = 0 и log₁/₂4 = −2.

Полагать, что график пересекает ось Oy, нельзя: на этой оси x = 0, а логарифм нуля не определён. Иногда асимптоту ошибочно принимают за часть графика. Подставьте x = 0 в область определения: если условие x > 0, точек графика на оси Oy нет, а x = 0 — вертикальная асимптота.

Связь с другими темами

Для работы с логарифмической функцией нужны определение логарифма, свойства степеней и представление о поведении показательной функции. Именно связь логарифма со степенью позволяет находить значения и переходить к уравнениям. Монотонность показательной функции помогает понять направление изменения обратной ей логарифмической функции.

Логарифмическая функция применяется при решении логарифмических уравнений и неравенств, исследовании функций и построении графиков. Её монотонность помогает сравнивать выражения, а область определения — отсеивать недопустимые значения. Связь с показательной функцией позволяет переводить задачи из логарифмической формы в степенную.

Что запомнить

• Логарифмическая функция имеет вид y = logₐx, где a > 0 и a ≠ 1.
• Её область определения — x > 0, множество значений — все действительные числа.
• График проходит через точку (1; 0).
• При a > 1 функция возрастает.
• При 0 < a < 1 функция убывает.
• Прямая x = 0 — вертикальная асимптота графика.