"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести положительное число, чтобы получить заданный результат. Например, запись log₂ 8 = 3 означает, что 2³ = 8. Логарифмы помогают находить неизвестные показатели степени и описывать процессы, в которых величины быстро растут или убывают. Чтобы работать с ними, нужно помнить условия для основания и аргумента, знать основные свойства и уметь переходить от логарифмической записи к показательной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = x, если aˣ = b. Здесь должны выполняться условия a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Такое определение позволяет находить неизвестный показатель степени.
Основание логарифма — число a в записи logₐ b; оно показывает, какое число возводят в степень. Основание должно быть положительным, иначе его степени не задают логарифм в обычном действительном смысле для всех показателей. Если a = 1, то 1 в любой степени равно 1, поэтому показатель нельзя однозначно определить. Условия на основание обеспечивают корректность определения.
Десятичным логарифмом числа b называют логарифм по основанию 10 и обозначают lg b, то есть lg b = log₁₀ b. Например, lg 100 = 2, потому что 10² = 100. Это короткое обозначение удобно, когда основание равно 10. Аргумент b при этом, как и в любом логарифме, должен быть положительным.
Натуральный логарифм числа b — это логарифм по основанию e: ln b = logₑ b. Число e — положительная константа, приблизительно равная 2,718, и оно не равно 1. Обозначение ln часто встречается в математическом анализе и задачах о непрерывном изменении величин. Для него также требуется b > 0.
Определение логарифма напрямую связано с показательной записью: если aˣ = b, то x = logₐ b. Чтобы перейти от логарифма к степени, нужно поставить основание на место основания степени, значение логарифма — на место показателя, а аргумент — на место результата. Например, log₃ 9 = 2 равносильно 3² = 9. Обратный переход выполняют тем же правилом в противоположном направлении.
Логарифм единицы равен нулю, потому что для любого допустимого основания a выполняется a⁰ = 1. Значит, logₐ 1 = 0. Логарифм самого основания равен единице: a¹ = a, поэтому logₐ a = 1. Эти равенства помогают быстро вычислять простые логарифмы и проверять преобразования.
Формулы произведения и частного можно получить из свойств степеней. Пусть logₐ x = m и logₐ y = n; тогда x = aᵐ и y = aⁿ, а xy = aᵐ⁺ⁿ, поэтому logₐ(xy) = m + n. Аналогично x/y = aᵐ⁻ⁿ, откуда logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. В обеих формулах нужны x > 0, y > 0 и допустимое основание a.
Для степени xʳ подставим x = aᵐ, где m = logₐ x. Тогда xʳ = (aᵐ)ʳ = aʳᵐ, следовательно, logₐ(xʳ) = r logₐ x. Здесь x > 0, a > 0, a ≠ 1; показатель r может быть действительным. Именно свойства степеней позволяют вынести показатель перед логарифмом, но не дают аналогичного правила для суммы аргументов.
Перейти от основания a к основанию c можно по формуле logₐ b = logс b / logс a. Действительно, если logₐ b = x, то aˣ = b; применение логарифма по основанию c даёт x logс a = logс b. Деление допустимо, когда logс a ≠ 0, то есть a ≠ 1; сами основания a и c должны быть положительными и не равными 1, а b — положительным. При изменении основания значение не меняется: числитель и знаменатель выражают логарифмы тех же чисел b и a.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Логарифм единицы | logₐ 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм основания | logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм частного | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм степени | logₐ(xʳ) = r logₐ x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 |
| Переход к новому основанию | logₐ b = logс b / logс a | a > 0, c > 0; a ≠ 1, c ≠ 1; b > 0 |
Перед применением любой формулы сначала проверь основание и аргументы: условия являются частью свойства. Формулы произведения и частного удобно использовать, чтобы объединить логарифмы или разложить один логарифм на несколько. Для вычисления логарифма на калькуляторе часто переходят к основанию 10 или e.
Задача 1. Вычислить log₂ 8 и записать равенство в показательной форме. Нужно определить, в какую степень возвести 2, чтобы получить 8. Поскольку 2³ = 8, искомый показатель равен 3. При обратной проверке логарифмическая запись должна восстановить то же равенство со степенью.
Ответ: 3; 2³ = 8.
Задача 2. Упростить выражение log₃ 27 + log₃ 9 − log₃ 3. Здесь все логарифмы имеют одно основание, поэтому каждый аргумент удобно представить степенью тройки. Тогда значение каждого логарифма сразу становится показателем степени. Знаки между логарифмами сохраняются при вычислении полученных чисел.
Ответ: 4.
Задача 3. Решить уравнение log₂(x − 1) = 3. Сначала проверяем, при каких x существует логарифм: его аргумент x − 1 должен быть положительным. Затем можно заменить логарифмическую запись равносильной степенной и найти x. В конце важно сверить найденное значение с исходным ограничением.
Ответ: x = 9.
Записывают логарифм с основанием, равным 1, или с неположительным основанием. Обычно это происходит, когда условия определения запоминают отдельно от формул. Проверяй каждую запись: основание должно удовлетворять a > 0 и a ≠ 1.
Подставляют в логарифм нулевой или отрицательный аргумент. Такая ошибка часто появляется после решения уравнения, когда проверяют только вычисления, но не область допустимых значений. Перед решением запиши условие b > 0, а найденный ответ проверь в нём.
Путают основание и аргумент при переходе к показательной форме: например, записывают bˣ = a вместо aˣ = b. Причина — неверное распределение ролей между числами в записи logₐ b = x. Помни: основание остаётся основанием степени, результат логарифма становится показателем, аргумент — результатом возведения.
Применяют свойство произведения к сумме: считают, что логарифм суммы равен сумме логарифмов. Свойство возникает из равенства степеней для произведения, а не для сложения, поэтому такого общего правила нет. Проверяй форму аргумента: формулы объединения работают для произведения и частного, но не для суммы и разности.
Для освоения логарифмов нужны свойства степеней: определение логарифма переводит задачу к равенству вида aˣ = b. Поэтому полезно уметь решать простейшие показательные уравнения, то есть уравнения, где неизвестная находится в показателе степени. Далее логарифмы становятся основным инструментом для решения логарифмических уравнений и неравенств. Они также связаны с показательной и логарифмической функциями, графики которых описывают взаимно обратные зависимости.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
Если основание равно 1, то 1 в любой степени остаётся равным 1. Поэтому для числа, отличного от 1, нельзя найти показатель, который дал бы это число; а для единицы такой показатель не единственный. Логарифм с основанием 1 не задаёт однозначного значения.
Почему аргумент логарифма должен быть положительным?
При положительном основании a степени aˣ всегда положительны для любых действительных x. Поэтому равенство aˣ = b возможно только при b > 0. Ноль и отрицательные числа не могут быть аргументами логарифма в действительных числах.
Как перейти от логарифмической записи к показательной?
Запись logₐ b = x равносильна равенству aˣ = b. Основание a становится основанием степени, значение логарифма x — показателем, а аргумент b — результатом возведения в степень. Например, log₂ 8 = 3 означает 2³ = 8.
Можно ли складывать логарифмы с разными основаниями?
Нельзя объединять их по формуле логарифма произведения, если основания различаются. Сначала можно привести логарифмы к одному основанию по формуле перехода, проверив допустимость преобразований. После этого свойства применяются к аргументам, а не к разным основаниям.
Чем десятичный логарифм отличается от натурального?
Десятичный логарифм lg b — это логарифм числа b по основанию 10. Натуральный логарифм ln b имеет основание e, где e ≈ 2,718. Это разные основания и обозначения, но оба логарифма подчиняются общим свойствам.
1.6. Логарифмы
