"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести заданное основание, чтобы получить нужное число. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Логарифмы помогают находить неизвестные показатели степени и упрощать выражения с произведениями, частными и степенями. Для работы с ними нужно следить за допустимыми значениями: основание должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — положительным. Основные свойства логарифмов следуют из правил действий со степенями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Запись logₐ b = c означает то же самое, что aᶜ = b. Иными словами, логарифм отвечает на вопрос: какой показатель нужен у основания a, чтобы результатом стало число b?
Основание логарифма — число a, записанное нижним индексом в выражении logₐ b. В действительных числах основание должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1. Если основание отрицательное, возведение в произвольную действительную степень не всегда имеет действительный результат, а при основании 1 показатель нельзя определить однозначно.
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, который записывают коротко: lg b = log₁₀ b. Такая запись часто встречается в вычислениях и на калькуляторах. Например, lg 100 = 2, поскольку 10² = 100.
Натуральный логарифм — логарифм по основанию e; его обозначают ln b = logₑ b. Число e приблизительно равно 2,718 и часто встречается в формулах математики и естественных наук. Обозначения lg и ln позволяют сразу увидеть, какое основание используется.
Чтобы логарифм logₐ b имел действительное значение, должны выполняться условия a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Причина связана с определением через степень: если основание положительно, его действительная степень тоже положительна, поэтому получить ноль или отрицательное число нельзя. Основание 1 тоже не подходит, потому что 1 в любой степени остаётся единицей и не позволяет восстановить показатель. Эти ограничения нужно проверять до вычислений, особенно если вместо аргумента стоит выражение с переменной.
Логарифмирование и возведение в степень — обратные операции. Если logₐ b = c, значит, показатель c при основании a даёт число b, то есть aᶜ = b; верно и обратное при допустимых значениях. Поэтому уравнение с логарифмом часто можно решить, переписав его в степенной форме. Например, из log₃ 9 = 2 следует 3² = 9.
Свойства логарифмов возникают из правил действий со степенями. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ; поэтому произведению положительных аргументов соответствует сумма их логарифмов. При делении показатели вычитаются, и получается правило логарифма частного. А поскольку (aˣ)ʳ = aˣʳ, множитель в показателе превращается в множитель перед логарифмом степени аргумента.
Переход к новому основанию позволяет выразить один логарифм через другие: logₐ b = log꜀ b / log꜀ a. Чтобы понять формулу, обозначим logₐ b через x: тогда aˣ = b; взяв логарифм по основанию c, получим x log꜀ a = log꜀ b, откуда следует формула. Она полезна, когда калькулятор не вычисляет логарифм напрямую: можно выбрать основание 10 или e. При этом c должно быть допустимым основанием, а log꜀ a не должен равняться нулю.
Два простых равенства следуют прямо из определения. Так как a⁰ = 1, то logₐ 1 = 0; так как a¹ = a, то logₐ a = 1. Они помогают быстро вычислять частные случаи и проверять преобразования. Для обоих равенств по-прежнему предполагается, что a > 0 и a ≠ 1.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Логарифм единицы | logₐ 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм основания | logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм произведения | logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c | a > 0, a ≠ 1; b > 0, c > 0 |
| Логарифм частного | logₐ(b/c) = logₐ b − logₐ c | a > 0, a ≠ 1; b > 0, c > 0 |
| Логарифм степени | logₐ(bʳ) = r logₐ b | a > 0, a ≠ 1; b > 0, r — действительное число |
| Переход к новому основанию | logₐ b = log꜀ b / log꜀ a | a > 0, a ≠ 1, b > 0; c > 0, c ≠ 1 |
Сначала проверьте условия: аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания — допустимыми. Затем выберите подходящую строку по виду выражения: произведение, частное или степень. Таблица помогает преобразовать выражение, но сама по себе не даёт правила для суммы аргументов.
Нужно определить показатель, в который следует возвести 2, чтобы получить 8. Представим 8 как степень двойки и сверим показатель с определением логарифма. Поскольку основание 2 положительно и не равно 1, логарифм определён.
Ответ: 3. Проверка проста: 2³ действительно равно 8. При вычислении логарифма полезно сначала поискать представление аргумента как степени основания.
Аргумент здесь зависит от x, поэтому сначала выясним, при каких x логарифм имеет смысл. Затем заменим уравнение равносильным степенным: значение логарифма станет показателем степени основания. После решения обязательно сверим найденное значение с условием области допустимых значений.
Ответ: x = 10. Проверка в исходном уравнении: log₃(10 − 1) = log₃ 9 = 2. Условие на аргумент нужно записывать до преобразований, чтобы не принять недопустимое значение.
В выражении есть разность логарифмов с одинаковым основанием и множитель перед логарифмом. Разность можно объединить в логарифм частного, а коэффициент перед логарифмом — внести как показатель степени аргумента. После этого появится возможность свести всё к одному логарифму и вычислить его.
Ответ: 4. Все преобразования допустимы, поскольку аргументы 12, 3, 2 и полученные положительные числа больше нуля. При упрощении важно сохранять основание логарифма и следить за знаками при объединении выражений.
Первая ошибка — забыть, что аргумент должен быть положительным. Её легко допустить, если сразу преобразовывать уравнение и не рассматривать область допустимых значений. Проверяйте знак аргумента до решения и подставляйте ответ в исходное выражение.
Вторая ошибка — считать допустимым основание 1 или отрицательное число. Такие значения противоречат условиям определения действительного логарифма; при основании 1 к тому же нельзя однозначно восстановить показатель. Перед вычислением проверьте, что основание положительно и не равно 1.
Третья ошибка — перепутать основание, аргумент и результат при переходе к степенной записи. В равенстве logₐ b = c основание — a, аргумент — b, а c — показатель степени. Чтобы себя проверить, запишите aᶜ = b и убедитесь, что это равенство соответствует исходной записи.
Четвёртая ошибка — применить свойство произведения или частного к сумме аргументов. Формулы для logₐ(bc) и logₐ(b/c) не дают правила для logₐ(b + c), хотя похожие записи могут сбивать с толку. Проверяйте, какое действие стоит внутри аргумента: для суммы отдельного правила разложения нет.
Для изучения логарифмов нужны определение степени с действительным показателем и правила действий со степенями: из них следуют переход к степенной записи и свойства логарифмов. Логарифмы применяются при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств, где помогают находить неизвестные показатели или аргументы. Позже они встречаются при изучении логарифмической функции и логарифмического дифференцирования. Поэтому умение соблюдать ограничения и преобразовывать выражения пригодится в нескольких разделах алгебры и математического анализа.
Почему аргумент логарифма должен быть положительным?
При положительном основании a любое действительное значение степени aˣ положительно. Поэтому равенство aˣ = b возможно только при b > 0, и логарифм отрицательного числа или нуля в действительных числах не определён.
Может ли основание логарифма быть равным единице?
Нет. При основании 1 любая степень равна 1: 1ˣ = 1. Поэтому по значению 1 нельзя определить единственный показатель степени, а другие положительные числа получить невозможно.
Как по записи логарифма составить равносильное степенное равенство?
В записи logₐ b = c основание — a, аргумент — b, а значение логарифма — c. Перепишите её как aᶜ = b, не меняя местами основание и аргумент.
Можно ли разложить логарифм суммы на сумму логарифмов?
Нет, общего правила logₐ(b + c) = logₐ b + logₐ c не существует. Свойство суммы логарифмов относится к произведению аргументов: logₐ(bc) = logₐ b + logₐ c.
Чем десятичный логарифм отличается от натурального?
Десятичный логарифм имеет основание 10 и записывается lg b. Натуральный логарифм имеет основание e и записывается ln b, где e — специальное число, приблизительно равное 2,718.
§ 15. Логарифмы
