"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести положительное основание, чтобы получить заданное положительное число. Это обратное действие к возведению в степень: равенство logₐ b = c означает aᶜ = b. Логарифмы помогают решать показательные уравнения, изучать рост и спад величин, работать со шкалами и сложными процентами. Главное — соблюдать ограничения на основание и аргумент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c означает aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Логарифм нужен, когда неизвестным является не само число, а показатель степени.
Основание логарифма — число a, стоящее в нижнем индексе. Для него требуют a > 0 и a ≠ 1, а для аргумента b — b > 0. При таких условиях функция aˣ принимает каждое положительное значение ровно один раз, поэтому показатель c существует и определяется однозначно.
Десятичный логарифм обозначают lg b: это log₁₀ b. Он удобен в вычислениях, связанных с десятичной системой счисления, например lg 1000 = 3. Запись без основания в этом случае специально заменяет громоздкое обозначение log₁₀.
Натуральный логарифм обозначают ln b: это logₑ b, где e — число примерно 2,718. Он особенно важен при изучении показательного роста и производных. Оба специальных обозначения подчиняются тем же свойствам, что и логарифмы с любым допустимым основанием.
Определение логарифма прямо получается из равенства aˣ = b: если нужно найти неизвестный показатель x, записывают x = logₐ b. Поэтому логарифм называют обратным действием к возведению в степень. Подобно тому как корень отменяет возведение в квадрат, логарифм позволяет восстановить показатель степени.
Свойства логарифмов следуют из свойств степеней. Если aᵘ = x и aᵛ = y, то xy = aᵘ · aᵛ = aᵘ⁺ᵛ, поэтому logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y; аналогично деление даёт разность показателей. Для степени xⁿ получается logₐ(xⁿ) = n logₐ x, поскольку показатель при умножении степени на себя n раз увеличивается в n раз.
Чтобы перейти от основания a к основанию c, положим logₐ b = x, то есть aˣ = b. Взяв логарифмы по основанию c, получим x log_c a = log_c b, откуда logₐ b = log_c b / log_c a. На калькуляторе обычно используют клавиши ln или log: например, log₂ 7 = ln 7 / ln 2.
Логарифмическая функция y = logₐ x является обратной к y = aˣ. При a > 1 она возрастает, а при 0 < a < 1 убывает, но в обоих случаях определена только при x > 0, проходит через точку (1; 0) и приближается к вертикальной асимптоте x = 0. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
Перед каждым преобразованием проверяйте допустимость: аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание — положительным и не равным единице. Если появляется несколько логарифмов, это условие нужно записать для каждого аргумента отдельно. Только после этого можно раскрывать произведение, частное или степень.
| Свойство или формула | Запись | Условия применения |
|---|---|---|
| Определение логарифма | logₐ b = c ⇔ aᶜ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Логарифм единицы | logₐ 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм основания | logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | x > 0, y > 0 |
| Логарифм частного | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | x > 0, y > 0 |
| Логарифм степени | logₐ(xⁿ) = n logₐ x | x > 0, a > 0, a ≠ 1 |
| Переход к новому основанию | logₐ b = log_c b / log_c a | a, b, c > 0; a, c ≠ 1 |
| Десятичный и натуральный логарифмы | lg b = log₁₀ b; ln b = logₑ b | b > 0 |
Таблицу удобно читать от структуры выражения к формуле: произведение превращается в сумму, частное — в разность, степень — в множитель. В последнем столбце указаны условия, которые нужно проверять до преобразования. Если условия нарушены, запись не имеет смысла в действительных числах.
Вычислим log₂ 32, log₃(1/9), lg 1000 и ln(e⁴). Во всех случаях нужно представить аргумент как степень основания. Тогда показатель степени сразу станет значением логарифма.
Ответ: 5; −2; 3; 4. Отрицательный результат во втором примере естественен: степень с отрицательным показателем даёт дробь.
Раскроем log₅((25x³)/y). Сначала проверим исходный аргумент: 25x³/y должен быть положительным, а затем применим свойства к частному, произведению и степени. Для записи через log₅ x и log₅ y достаточно потребовать x > 0 и y > 0.
Ответ: 2 + 3log₅ x − log₅ y, при x > 0 и y > 0. Эти ограничения одновременно обеспечивают положительность исходного аргумента и всех новых логарифмов.
Решим log₂(x − 1) + log₂(x + 3) = 3. Нельзя сразу преобразовывать уравнение: сначала оба аргумента должны быть положительными. После объединения логарифмов получим показательное уравнение, а найденное значение проверим в исходной записи.
Ответ: x = −1 + 2√3. Подстановка показывает, что оба аргумента положительны, поэтому найденный корень допустим.
Свойство суммы. Ошибка состоит в записи logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y. Её допускают по аналогии со свойством произведения, но для суммы общего правила нет. Проверяйте вид действия внутри аргумента: складывать логарифмы можно только после логарифма произведения.
Забытые условия. Иногда используют основание 1 или отрицательное основание, а также логарифмируют неположительный аргумент. Причина — внимание сосредоточено на вычислениях, а не на смысле определения. Перед решением выпишите a > 0, a ≠ 1 и все аргументы > 0.
Неверное раскрытие степени. Формулу logₐ(xⁿ) = n logₐ x применяют без проверки x. Тогда справа может появиться logₐ x, который не существует при x ≤ 0. Сначала проверьте область допустимых значений и только затем выносите показатель.
Нет проверки корней. После объединения логарифмов или возведения в степень могут появиться значения с неположительным аргументом. Их допускают, потому что проверяют только преобразованное уравнение. Подставьте каждый корень именно в исходное уравнение и убедитесь, что все логарифмы определены.
До изучения логарифмов нужны свойства степеней, понятие показательной функции и умение решать простейшие показательные уравнения. Логарифм фактически вводится как способ найти неизвестный показатель.
Дальше эти формулы применяются в логарифмических и показательных уравнениях и неравенствах. Знание области определения помогает отбрасывать посторонние решения.
Логарифмы встречаются при изучении логарифмической функции и её производной, моделей показательного роста, шкал измерений и сложных процентов. Они позволяют заменять умножение сложением показателей и упрощать расчёты.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
При основании 1 выражение 1ˣ всегда равно 1, поэтому для других значений аргумента решения нет. Кроме того, для b = 1 показатель степени был бы не единственным: 1ˣ = 1 при любом x.
Можно ли вычислить логарифм отрицательного числа?
В рамках действительных чисел нельзя: показательная функция с положительным основанием принимает только положительные значения. Поэтому аргумент любого действительного логарифма должен быть больше нуля.
Чем отличаются lg и ln?
lg b — десятичный логарифм, то есть log₁₀ b. ln b — натуральный логарифм по основанию e, где e ≈ 2,718.
Почему при раскрытии логарифма степени возникают ограничения на переменную?
Формула logₐ(xⁿ) = n logₐ x содержит логарифм x, а его аргумент должен быть положительным. Поэтому для такой записи обычно требуют x > 0, даже если исходное выражение xⁿ при некоторых n может быть положительным и при отрицательном x.
Как понять, какое свойство логарифмов применить первым?
Сначала посмотрите на внешнюю структуру аргумента: произведение раскрывают через сумму, частное — через разность, степень — выносом показателя. Если внутри есть несколько действий, удобно идти от главного действия к более мелким и каждый раз проверять область допустимых значений.
§ 1. Логарифмы
