§ 5. Логарифмы

Определения и обозначения

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c тогда и только тогда, когда aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Такое обозначение помогает найти неизвестный показатель степени.

Число a в записи logₐ b называют основанием логарифма. Для него обязательно a > 0 и a ≠ 1: положительное основание позволяет возводить его в действительную степень, а исключение единицы нужно, чтобы степени зависели от показателя. Число b называют аргументом, то есть числом под знаком логарифма, и оно должно быть положительным.

Логарифмическим выражением называют выражение, в котором логарифм может быть записан от числа или от выражения с переменной: например, log₃ x или log₂(x − 1). В последнем случае требуется x − 1 > 0, значит, x > 1. Такие ограничения называют областью допустимых значений (ОДЗ); их нужно учитывать до преобразований.

Логарифмическая функция имеет вид y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Её область определения — все x > 0, потому что аргумент логарифма должен быть положительным. Функция обратна показательной y = aˣ: если одна запись задаёт зависимость между x и y, то другая задаёт ту же связь с переставленными ролями переменных.

Как это устроено

Логарифм является обратным действием к возведению в степень: равенство logₐ b = c равносильно равенству aᶜ = b. Если известны основание и результат степени, логарифм отвечает на обратный вопрос — какой показатель был использован. Например, из 3⁴ = 81 следует log₃ 81 = 4. Это не новое правило вычисления, а две формы записи одной связи.

Основание должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — положительным. При отрицательном основании действительная степень определена не для всех действительных показателей, поэтому логарифм не задаёт такую обратную операцию на нужной области. Если основание равно 1, то 1ᶜ всегда равно 1: число 1 не позволяет восстановить показатель, а остальные положительные числа вообще не получаются. Отрицательный аргумент также нельзя получить возведением положительного основания в действительную степень.

Правила для произведения и частного логарифмов следуют из свойств степеней. Пусть logₐ b = p, а logₐ c = q, тогда b = aᵖ и c = aᑫ; произведение bc = aᵖ⁺ᑫ, поэтому logₐ(bc) = p + q. Аналогично, bc⁻¹ = aᵖ⁻ᑫ, откуда logₐ(b/c) = p − q. Для степени bʳ = (aᵖ)ʳ = aʳᵖ, поэтому logₐ(bʳ) = r logₐ b при допустимых значениях.

Формула перехода к новому основанию записывается так: logₐ b = logₘ b / logₘ a, где m > 0 и m ≠ 1. Действительно, если logₐ b = c, то b = aᶜ; после взятия логарифма по основанию m получаем logₘ b = c logₘ a. Значит, c равен указанному отношению, причём logₘ a не должен быть нулём, что обеспечено условием a ≠ 1. Формула полезна, когда логарифмы с нужным основанием можно вычислить или выразить через известные значения.

Основание определяет направление изменения функции: при a > 1 степени aˣ растут с увеличением x, а при 0 < a < 1 — убывают; обратная функция сохраняет соответственно возрастание или убывание. Поэтому y = logₐ x возрастает в первом случае и убывает во втором. График проходит через (1; 0), потому что logₐ 1 = 0 для любого допустимого a. Он определён только при x > 0 и приближается к вертикальной прямой x = 0.

Основные свойства логарифмов

Сначала проверьте условия в правом столбце, затем выбирайте формулу по виду выражения: произведение, частное или степень. Формула для произведения объединяет логарифмы с одинаковым основанием, а не с разными. При переходе к новому основанию убедитесь, что все логарифмы в дроби определены.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить log₂ 32 − log₂ 4 + log₂ 8. Здесь удобно не применять сложные преобразования: нужно представить каждое число степенью двойки и по определению прочитать показатель. Все три логарифма имеют одно основание, но вычислять их можно независимо. Затем остаётся выполнить действия с полученными числами.

1. Записываем числа как степени двойки: 32 = 2⁵, 4 = 2², 8 = 2³.
2. По определению получаем log₂ 32 = 5, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3.
3. Подставляем значения и вычисляем: 5 − 2 + 3 = 6.

Ответ: 6. Проверка проста: каждый найденный логарифм — показатель, который при возведении двойки даёт соответствующее число.

Задача 2. Упростить log₃(9x²) − log₃ x при x > 0. Условие уже гарантирует, что второй логарифм определён; оно также позволяет использовать логарифм степени для x². Раскроем произведение 9 · x², а затем применим свойства степени и разности логарифмов с одинаковым основанием. В конце проверим, что упрощённое выражение согласуется с заданным ограничением.

1. Разделяем произведение: log₃(9x²) = log₃ 9 + log₃(x²).
2. Используем log₃ 9 = 2 и log₃(x²) = 2 log₃ x. Получаем 2 + 2 log₃ x − log₃ x.
3. Собираем подобные слагаемые: 2 + log₃ x. При x > 0 этот логарифм определён.

Ответ: 2 + log₃ x, при x > 0. Ограничение из условия нельзя отбросить: без него исходное выражение могло бы не иметь смысла.

Задача 3. Решить уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. Перед объединением логарифмов найдём ОДЗ: оба аргумента должны быть положительными. Затем используем свойство произведения, переведём логарифмическое равенство в показательное и проверим найденные значения по исходному ограничению. Проверка нужна, потому что алгебраические преобразования сами по себе не гарантируют допустимость корня.

1. Из x − 1 > 0 получаем x > 1; условие x + 1 > 0 даёт x > −1. Вместе они означают x > 1.
2. Объединяем логарифмы: log₂((x − 1)(x + 1)) = 3. По определению это равносильно (x − 1)(x + 1) = 2³ = 8.
3. Раскрываем скобки: x² − 1 = 8, поэтому x² = 9 и x = 3 или x = −3.
4. Сверяем корни с ОДЗ x > 1. Подходит только x = 3; при подстановке аргументы равны 2 и 4, и исходная сумма равна 1 + 2 = 3.

Ответ: x = 3. Значение −3 является корнем полученного квадратного уравнения, но не исходного логарифмического уравнения, поэтому его исключают.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать logₐ(b + c) = logₐ b + logₐ c. Правило для произведения переносят на сумму, хотя оно выведено из умножения степеней; для суммы такого свойства нет. Проверяйте преобразование на простых числах: log₂(2 + 2) = 2, а log₂ 2 + log₂ 2 = 2 — здесь случайно совпало, поэтому лучше взять разные слагаемые: log₂(1 + 2) не равно log₂ 1 + log₂ 2. Объединять можно только произведение аргументов при одинаковом основании.

Ошибка: не проверять, положительно ли выражение под логарифмом. Её допускают, когда после преобразований решают только полученное уравнение и забывают исходный смысл логарифма. До решения выпишите условие для каждого аргумента и объедините ограничения в ОДЗ. После нахождения корней подставьте каждый в эти условия и в исходное уравнение.

Ошибка: считать допустимыми основание 1 или отрицательное основание. Основание иногда принимают за любое число, хотя логарифм в действительных числах определён только при a > 0 и a ≠ 1. Проверка состоит в том, чтобы перед вычислениями или применением формул записать ограничения на основание. Если хотя бы одно из них нарушено, запись логарифма недопустима.

Ошибка: утверждать, что функция возрастает при 0 < a < 1. Такое направление иногда переносят с показательной функции с основанием больше единицы, не учитывая смену основания. Для проверки сравните значения: log₁⁄₂ 1 = 0, а log₁⁄₂ 2 = −1, то есть при увеличении аргумента значение уменьшилось. При 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает.

Связь с другими темами

Перед изучением логарифмов полезно знать степени с действительным показателем и свойства степеней: именно через них обосновываются формулы логарифмов. Также пригодится решение показательных уравнений, где неизвестная находится в показателе степени. Логарифм позволяет выразить такой показатель и связать уравнение с новой функцией.

Дальше логарифмы используются при решении логарифмических уравнений и неравенств, а также при изучении показательной и логарифмической функций. В практических моделях логарифмические формулы встречаются в расчётах сложного процента и при работе с масштабами. Они также применяются в задачах естественных наук, где величина меняется по показательному закону.

Что запомнить

• logₐ b = c тогда и только тогда, когда aᶜ = b.
• Для логарифма нужны условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• logₐ 1 = 0, а logₐ a = 1.
• Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.
• Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
• logₐ(bʳ) = r logₐ b при допустимых значениях.
• При a > 1 логарифмическая функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.