4.8. Показательная функция

Определения и обозначения

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Переменная x здесь является показателем степени, а не основанием. Ограничения нужны, чтобы функция имела вещественные значения при всех x и не превращалась в постоянную функцию.

Основание степени — число a, которое задаёт показательную функцию. Для основания больше 1 функция растёт, а для основания между 0 и 1 убывает. Это различие помогает определить, как изменится значение функции при увеличении показателя, и выбрать способ сравнения степеней.

Экспонента — показательная функция y = eˣ с основанием e, где e — число, большее 1 (приблизительно 2,718). Это частный случай показательной функции, поэтому экспонента возрастает, проходит через точку (0; 1) и принимает только положительные значения. Она часто встречается при описании непрерывного роста и убывания.

Как это устроено

Сначала степени определяют для целых показателей, затем — для рациональных, то есть дробных. Например, a¹ᐟ² понимают как √a, а отрицательные показатели связывают с обратными числами: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Чтобы продолжить это определение на любой действительный показатель, основание берут положительным: тогда можно согласовать значения степеней с рациональными показателями и получить непрерывное изменение значения при изменении x.

При a = 1 выражение 1ˣ всегда равно 1, независимо от x, поэтому получается постоянная функция. Если a < 0, то для некоторых действительных показателей, например x = ½, степень не имеет вещественного значения. При a = 0 отрицательные показатели также не определены, а нулевой показатель приводит к проблеме 0⁰. Значит, только условие a > 0 позволяет задать вещественную функцию на всей числовой прямой.

Поведение функции определяется тем, что происходит с целыми степенями основания. Если a > 1, умножение на a увеличивает положительное число, поэтому при увеличении показателя значения растут; это верно и для действительных показателей. Если 0 < a < 1, умножение на a уменьшает число, поэтому значения при росте x становятся меньше. Например, (½)⁰ = 1, (½)¹ = ½, (½)² = ¼.

При x = 0 любая допустимая степень равна единице: a⁰ = 1, поэтому график проходит через (0; 1). Значения aˣ всегда положительны, следовательно, график не может оказаться ниже оси Ox или пересечь её. При a > 1 отрицательные показатели дают дроби, приближающиеся к нулю, а при 0 < a < 1 к нулю приближаются значения при больших положительных x. Поэтому ось Ox служит горизонтальной асимптотой: график приближается к ней, не достигая.

График помогает сравнивать значения по показателям: у возрастающей функции большему x соответствует большее y, у убывающей — меньшее. Если основания в уравнении одинаковы и допустимы, то равные значения функции соответствуют равным показателям: aᵘ = aᵛ означает u = v. Это позволяет свести показательное уравнение к обычному уравнению с переменной в показателе.

Свойства показательной функции y = aˣ

Сначала найдите, в какой столбец попадает основание: между 0 и 1 или больше 1. Затем используйте нужное направление монотонности и поведение на концах числовой прямой. Свойства также позволяют проверять, может ли предполагаемая точка лежать на графике.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = 2ˣ, указав несколько точек и поведение графика.

1. Выбираем несколько удобных значений x: −2, −1, 0, 1, 2. Для отрицательных показателей используем правило 2⁻ⁿ = 1/2ⁿ, а нулевая степень равна 1.
2. Вычисляем значения: при x = −2 получаем ¼, при x = −1 — ½, при x = 0 — 1, при x = 1 — 2, при x = 2 — 4. Отмечаем точки (−2; ¼), (−1; ½), (0; 1), (1; 2), (2; 4).
3. Так как основание 2 больше 1, соединяем точки плавной возрастающей кривой. Она остаётся выше оси Ox, слева приближается к ней, а при движении вправо неограниченно растёт.

Ответ: график проходит через перечисленные точки, возрастает и не пересекает ось Ox.

Задача 2. Сравнить числа 3⁻² и 3⁻¹, не вычисляя их десятичные значения.

1. Рассматриваем функцию y = 3ˣ. Основание 3 больше 1, значит, функция возрастает.
2. Сравниваем показатели: −2 < −1. У возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение.
3. Следовательно, значение функции при −2 меньше значения при −1. Десятичные вычисления для сравнения не нужны.

Ответ: 3⁻² < 3⁻¹.

Задача 3. Решить уравнение (⅓)²ˣ⁻¹ = 27.

1. Представляем правую часть с основанием ⅓: 27 = 3³ = (⅓)⁻³. Теперь основания слева и справа совпадают.
2. Основание ⅓ положительно и не равно 1, поэтому функция y = (⅓)ˣ взаимно однозначна. Приравниваем показатели: 2x − 1 = −3.
3. Решаем линейное уравнение: 2x = −2, откуда x = −1. Проверка: 2(−1) − 1 = −3, и обе части исходного равенства равны 27.

Ответ: x = −1.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что основание может быть любым числом. Обычно путают целые показатели, для которых отрицательное основание допустимо, с произвольными действительными показателями. Например, при x = ½ степень отрицательного основания не будет вещественной. Проверка: подставьте любой действительный показатель и убедитесь, что требуется вещественное значение для каждого x.

Ошибка: включать a = 1 в определение. Поскольку 1ˣ = 1 при любом x, график в этом случае — горизонтальная прямая, а не изменяющаяся показательная функция. Проверка: спросите себя, меняется ли значение функции при смене аргумента. Если нет, основание 1 исключают.

Ошибка: перепутать направление монотонности. Часто запоминают только, что функция «растёт», не проверяя основание. Но при 0 < a < 1 умножение на основание уменьшает значение, поэтому функция убывает. Проверка: сравните значения в точках x = 0 и x = 1: это 1 и a.

Ошибка: считать, что график пересекает ось Ox. График может казаться очень близким к оси, особенно при больших по модулю x, и это принимают за пересечение. Однако степень с положительным основанием всегда положительна. Проверка: значение y = 0 невозможно, поскольку уравнение aˣ = 0 не имеет решения.

Связь с другими темами

Для работы с показательной функцией нужны свойства степеней с целыми и рациональными показателями: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, отрицательный показатель и степень с дробным показателем. Они помогают преобразовывать выражения и приводить уравнение к общему основанию. Далее показательная функция становится основой для решения показательных уравнений и неравенств, а логарифм позволяет находить показатель по известному значению степени. Эти понятия применяют и в моделях экспоненциального роста или убывания, например при описании изменения величины с течением времени.

Что запомнить

• Показательная функция имеет вид y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Множество значений — положительные числа.
• График проходит через точку (0; 1).
• При a > 1 функция возрастает.
• При 0 < a < 1 функция убывает.
• График не пересекает ось Ox.