5.1. Понятие логарифма

Определения и обозначения

Логарифм положительного числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b; записывают logₐ b = c. Например, в равенстве log₂ 8 = 3 число 3 показывает, что двойку надо возвести в третью степень. Такое обозначение нужно, когда требуется найти неизвестный показатель, а не результат возведения в степень.

Основание логарифма a — число, для которого определён логарифм при a > 0 и a ≠ 1. Оно указывает, какое число возводят в степень, и поэтому занимает нижнее место в записи logₐ b. Ограничения на основание позволяют однозначно связать логарифм с показательной функцией.

Аргумент логарифма b — число, которое стоит под знаком логарифма; для действительного логарифма требуется b > 0. Именно это число должно получиться после возведения основания в некоторую степень. Условие помогает сразу определить, допустимо ли выражение, ещё до вычислений.

Логарифмическое равенство logₐ b = c равносильно показательному равенству aᶜ = b при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Это означает, что обе записи сообщают одно и то же: показатель равен c, а результат степени — b. Переход между формами нужен для вычисления и проверки логарифмов.

Как это устроено

Понятие логарифма появляется, когда известны основание степени и её результат, но неизвестен показатель. Например, вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8?» можно записать как 2ˣ = 8. Логарифм log₂ 8 называет значение x, поэтому он переводит поиск показателя в отдельную математическую запись.

Основание должно быть положительным и не равняться 1 из-за устройства показательной функции. При a > 0 и a ≠ 1 функция y = aˣ принимает каждое положительное значение и не принимает одно значение дважды. Поэтому для любого b > 0 находится ровно один показатель c, а логарифм определён однозначно. При основании 1 значения степени не меняются, а при отрицательном основании степени не дают подходящей действительной функции для всех действительных показателей.

Аргумент обязан быть положительным, потому что при допустимом основании a каждое значение aˣ положительно. Отрицательное число или ноль не могут получиться в результате такой степени, поэтому показателя c для них нет. Это ограничение относится к действительным логарифмам и проверяется до любых преобразований выражения.

Равенство logₐ b = c можно проверять переходом к равносильному равенству aᶜ = b. Такой переход следует прямо из определения: логарифм и есть показатель, дающий аргумент при возведении основания в степень. В показательной форме часто проще вычислить неизвестную величину или убедиться, что найденное значение верно.

Из определения сразу получаются два полезных значения. Поскольку a⁰ = 1, логарифм единицы по допустимому основанию равен нулю: logₐ 1 = 0. Поскольку a¹ = a, логарифм основания по самому себе равен единице: logₐ a = 1.

Соответствие между логарифмической и показательной формами

Чтобы перейти из логарифмической формы в показательную, перенеси основание в основание степени, значение логарифма — в показатель, а аргумент — в результат. Обратный переход выполняется так же: из aᶜ = b получаем logₐ b = c. Перед переходом проверь условия в последнем столбце.

Разбор задач

Задача 1. Найти log₂ 8. Нужно выяснить, какой показатель двойки даёт 8. Перейдём к показательному равенству, а затем проверим найденную степень.

1. Обозначим искомый логарифм через x: 2ˣ = 8.
2. Представим 8 как степень двойки: 8 = 2³.
3. Сравниваем показатели: x = 3, поскольку 2³ = 8.

Ответ: log₂ 8 = 3.

Задача 2. Найти log₃(1/27) и log₅ 1. В первом случае аргумент нужно представить степенью тройки, причём может понадобиться отрицательный показатель. Во втором достаточно воспользоваться значением логарифма единицы.

1. Поскольку 27 = 3³, то 1/27 = 3⁻³.
2. Из определения следует log₃(1/27) = −3, так как 3⁻³ = 1/27.
3. Так как 5⁰ = 1, получаем log₅ 1 = 0.

Ответ: log₃(1/27) = −3; log₅ 1 = 0.

Задача 3. Проверить, имеют ли смысл в действительных числах log₋₂ 4, log₁ 5 и log₄ 0. Здесь не требуется находить показатель: сначала проверим допустимость каждого основания и аргумента. Для основания необходимы a > 0 и a ≠ 1, для аргумента — b > 0.

1. В log₋₂ 4 основание −2 отрицательно, поэтому выражение не определено.
2. В log₁ 5 основание равно 1, поэтому выражение также не определено.
3. В log₄ 0 основание допустимо, но аргумент равен нулю, что запрещено.

Ответ: ни одно из трёх выражений не имеет смысла в действительных числах.

Типичные ошибки

Ошибочно читать logₐ b как произведение a и b. Такое впечатление может возникнуть из-за соседства знаков, но логарифм — не действие умножения, а показатель степени. Проверь смысл записи переходом logₐ b = c ⇔ aᶜ = b: если в ней нет показателя, прочитано неверно.

Нельзя разрешать основание a = 1 или a ≤ 0. Иногда основание принимают за любое число, которое удобно подставить, но логарифм в действительных числах определяется только при a > 0 и a ≠ 1. Самопроверка проста: прежде чем считать, выпиши оба ограничения на основание.

Нельзя вычислять логарифм нуля или отрицательного аргумента в действительных числах. Ошибка возникает, если забыть, что логарифм ищет показатель, а степень положительного основания всегда положительна. Проверь знак аргумента: при b ≤ 0 вычисления прекращаются, выражение не определено.

При переходе к показательной записи иногда меняют местами основание и аргумент. Это путает, потому что оба числа стоят рядом со знаком логарифма, но основание — нижний индекс, а аргумент — число после него. Запиши шаблон logₐ b = c ⇔ aᶜ = b и сверяй каждую роль с ним.

Связь с другими темами

Для работы с логарифмами пригодятся представление чисел в виде степеней и свойства степеней с целыми и рациональными показателями: например, именно так можно увидеть, что 1/27 = 3⁻³. Определение опирается на показательную функцию, а логарифмическая зависимость является обратной к ней. Позже логарифмы помогут изучать логарифмическую функцию, решать логарифмические уравнения и неравенства. Они также используются при описании процессов, в которых величины изменяются экспоненциально.

Что запомнить

• logₐ b — показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
• Для действительного logₐ b необходимо: a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• logₐ b = c равносильно aᶜ = b.
• logₐ 1 = 0.
• logₐ a = 1.
• Логарифм нуля и отрицательного числа в действительных числах не определён.