"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Свойства логарифмов позволяют превращать произведение в сумму, частное — в разность, а степень — в множитель перед логарифмом. Это помогает вычислять значения и упрощать выражения. Для каждой формулы важны условия: основание должно быть положительным и не равняться 1, а аргумент логарифма — быть положительным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: log_a b = x означает aˣ = b. Здесь a > 0, a ≠ 1, b > 0. Определение связывает логарифм со степенью, поэтому помогает вычислять значения и проверять преобразования.
Логарифм произведения положительных множителей с одним и тем же допустимым основанием равен сумме их логарифмов: log_a(xy) = log_a x + log_a y. Это свойство нужно, чтобы заменить произведение более простыми выражениями и затем вычислять их отдельно.
Логарифм частного положительных чисел с одним и тем же допустимым основанием равен разности логарифмов числителя и знаменателя: log_a(x/y) = log_a x − log_a y. Такое преобразование удобно, когда дробь сложнее, чем отдельные логарифмы её частей.
Логарифм степени можно записать как произведение показателя степени на логарифм основания этой степени: log_a(xʳ) = r log_a x, если x > 0 и основание логарифма допустимо. Свойство позволяет убрать степень из аргумента и упростить выражение; условия нужны, чтобы оба логарифма существовали.
Свойства логарифмов не являются отдельными правилами без обоснования: они следуют из определения и законов степеней. Если логарифм числа равен x, это означает, что число записывается как степень основания с показателем x. Поэтому действия над числами внутри аргумента можно перевести в действия над показателями.
Пусть x = log_a b и y = log_a c. По определению b = aˣ, c = aʸ, поэтому bc = aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Значит, log_a(bc) = x + y = log_a b + log_a c. Числа b и c должны быть положительными, иначе соответствующие логарифмы не определены.
Для частного возьмём те же равенства b = aˣ и c = aʸ. Тогда b/c = aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ, потому что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Отсюда log_a(b/c) = log_a b − log_a c. Числитель и знаменатель должны быть положительными: так определены оба логарифма справа, а знаменатель дроби не равен нулю.
Если b > 0 и b = aˣ, то bʳ = (aˣ)ʳ = aʳˣ, поэтому log_a(bʳ) = r log_a b. Здесь положительное b позволяет рассматривать логарифм b и степени с вещественным показателем r. Если b отрицательно, а r — целое число, выражение bʳ иногда существует и бывает положительным, но log_a b всё равно не определён; значит, формулу с log_a b применять нельзя без проверки.
При смене основания обозначим log_a b = x, log_c b = y и log_c a = z. Тогда b = aˣ и a = cᶻ, откуда b = cᶻˣ; следовательно, y = zx и x = y/z. Получаем log_a b = log_c b / log_c a: нужны b > 0, a > 0, c > 0 и основания a, c, не равные 1. Знаменатель не равен нулю, поскольку log_c a = 0 означало бы a = 1.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Логарифм единицы | log_a 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм основания | log_a a = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм произведения | log_a(xy) = log_a x + log_a y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм частного | log_a(x/y) = log_a x − log_a y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм степени | log_a(xʳ) = r log_a x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 |
| Переход к новому основанию | log_a x = log_c x / log_c a | a > 0, c > 0; a ≠ 1, c ≠ 1; x > 0 |
Сначала найди в выражении произведение, частное или степень, к которым подходит формула, а затем проверь условия для основания и аргументов. При разложении дроби следи за порядком: логарифм числителя минус логарифм знаменателя. Если условия не выполнены, применять свойство нельзя.
Задача 1. Вычислить log_2 8 + log_2 4.
Ответ: 5. Здесь удобнее сразу узнать степени двойки: это напрямую применяет определение логарифма.
Задача 2. Разложить log_3(27x/9) на сумму и разность логарифмов и указать допустимые значения x.
Ответ: 1 + log_3 x, при x > 0. Условие на x нужно указать отдельно: без него полученное выражение может содержать несуществующий логарифм.
Задача 3. Вычислить log_2 5 · log_5 16.
Ответ: 4. Смена основания помогает связать логарифмы с разными основаниями, а затем сократить общий множитель.
Ошибочно записывать log_a(x + y) = log_a x + log_a y. Такую формулу иногда переносят по аналогии со свойством произведения, но для суммы она не работает. Проверка: возьмём a = 2, x = y = 1; слева log_2 2 = 1, а справа log_2 1 + log_2 1 = 0. Складывать можно логарифмы множителей произведения.
Ещё одна ошибка — забывать, что аргументы логарифмов должны быть положительными. Из-за этого свойство применяют к выражению, в котором один из логарифмов не существует. Перед преобразованием реши неравенства для аргументов и проверь основание; после преобразования убедись, что область допустимых значений не потерялась.
При логарифме частного некоторые меняют знак только у части выражения или ставят между логарифмами знак плюс. Причина — в том, что минус относится ко всему логарифму знаменателя: log_a(x/y) = log_a x − log_a y. Сравни формулу с правилом деления степеней, а если после разложения есть скобки, раскрывай их со знаком минус перед всем выражением.
При вынесении степени можно потерять её показатель или ошибиться в знаке: верно log_a(xʳ) = r log_a x. Иногда формулу используют при отрицательном x, хотя правый логарифм тогда не определён. Проверь знак аргумента и основание, а затем подставь простой пример, например log_2(2³) = 3 log_2 2 = 3.
Для понимания свойств нужны определение логарифма, правила действий со степенями и условия существования логарифма. Именно через степени выводятся правила для произведения, частного и степени. Если забыть условия на основание или аргумент, формально верное преобразование может привести к выражению, которое не имеет смысла.
Свойства помогают упрощать выражения, вычислять логарифмы и решать логарифмические уравнения. Переход к новому основанию связывает логарифмы с разными основаниями: его используют при сравнении и для вычисления с помощью калькулятора. Например, калькулятор может вычислять логарифмы только по основаниям 10 или e, и формула позволяет выразить через них логарифм с другим основанием.
Почему логарифм произведения превращается в сумму?
Если log_a x = m и log_a y = n, то x = aᵐ, y = aⁿ. Поэтому xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, а значит, log_a(xy) = m + n = log_a x + log_a y.
Можно ли разложить логарифм суммы на сумму логарифмов?
Нет, такого свойства нет: log_a(x + y) обычно не равен log_a x + log_a y. Свойство сложения логарифмов относится к произведению положительных чисел, а не к их сумме.
Какие условия нужны, чтобы применить свойство логарифма частного?
Основание a должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1. Числитель x и знаменатель y должны быть положительными, чтобы оба логарифма существовали.
Можно ли вынести показатель степени перед логарифмом?
Да: при a > 0, a ≠ 1 и x > 0 выполняется log_a(xʳ) = r log_a x. Если основание степени x отрицательное и r — целое число, отдельно проверьте, определены ли оба логарифма в равенстве.
Как перейти от одного основания логарифма к другому?
Используйте формулу log_a x = log_c x / log_c a. Здесь x > 0, а основания a и c положительны и не равны 1; знаменатель log_c a при этих условиях не равен нулю.
5.2. Свойства логарифмов
