"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Свойства логарифмов связывают действия с аргументами с действиями над их логарифмами: произведению соответствует сумма, частному — разность, степени — умножение на показатель. Эти правила помогают упрощать выражения, переходить к удобному основанию и решать логарифмические уравнения. Каждую формулу применяют только при допустимых значениях основания и аргументов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм произведения раскрывается формулой logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Здесь a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0. Правило позволяет заменить один логарифм произведения двумя более простыми логарифмами.
Логарифм частного равен разности логарифмов: logₐ(x/y) = logₐx − logₐy. Основание должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1, а числитель и знаменатель — быть положительными. Свойство удобно, когда аргумент представлен дробью.
Логарифм степени вычисляется так: logₐ(xʳ) = r·logₐx. Для обычного действительного логарифма a > 0, a ≠ 1 и x > 0; показатель r выбирают так, чтобы степень была определена. Формула выносит показатель из аргумента и заметно упрощает выражения.
Переход к новому основанию задаётся формулой logₐb = log𝚌b / log𝚌a. Нужно, чтобы a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1 и log𝚌a ≠ 0. Это позволяет заменить неудобное основание, например перейти к десятичным или натуральным логарифмам.
По определению, равенство logₐu = t означает aᵗ = u. Поэтому свойства логарифмов можно получить из правил действий со степенями, а не запоминать как отдельные искусственные формулы. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются.
Пусть aˣ = x₁ и aʸ = x₂. Тогда x₁x₂ = aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ. Значит, показателем степени, дающей произведение x₁x₂, будет x + y, поэтому logₐ(x₁x₂) = x + y = logₐx₁ + logₐx₂. Положительность x₁ и x₂ нужна, чтобы оба логарифма существовали.
Для частного используются те же обозначения: x₁ = aˣ и x₂ = aʸ. Деление степеней даёт x₁/x₂ = aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ, поэтому logₐ(x₁/x₂) = x − y. Условие x₂ > 0 одновременно гарантирует, что знаменатель не равен нулю.
Если x > 0, то x = aˣ⁰, где x₀ = logₐx. Возведение в степень r даёт xʳ = (aˣ⁰)ʳ = aʳˣ⁰, а значит, logₐ(xʳ) = rˣ₀ = r·logₐx. При отрицательном x правая часть не имеет смысла в действительных числах, поскольку logₐx не определён; нецелая степень отрицательного числа также обычно не является действительным числом.
Пусть logₐb = t, то есть aᵗ = b. Возьмём логарифм с основанием c: t·log𝚌a = log𝚌b, откуда t = log𝚌b/log𝚌a. Если в этой формуле выбрать c = b, получим logₐb = 1/logᵦa, поэтому логарифмы с взаимно заменёнными основанием и аргументом являются обратными, а не равными.
Таблица помогает быстро выбрать нужное правило: сначала распознайте произведение, частное или степень в аргументе, затем проверьте условия. В каждой строке основание должно быть допустимым, а все возникающие аргументы — положительными. Формулы перехода применяют только при ненулевом знаменателе.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐx + logₐy | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм частного | logₐ(x/y) = logₐx − logₐy | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм степени | logₐ(xʳ) = r·logₐx | a > 0, a ≠ 1; ограничения на x и r обеспечивают xʳ > 0 |
| Переход к новому основанию | logₐb = log𝚌b / log𝚌a | a > 0, a ≠ 1; b > 0; c > 0, c ≠ 1; log𝚌a ≠ 0 |
| Взаимно обратные логарифмы | logₐb = 1 / logᵦa | a > 0, b > 0; a ≠ 1, b ≠ 1 |
1. Вычислить log₂8 + log₂4, не вычисляя каждый логарифм отдельно. Слагаемые имеют одинаковое основание, поэтому их выгодно объединить в один логарифм. После этого используется определение логарифма.
Ответ: 5.
2. Раскрыть выражение log₃(9x²/у) при x ≠ 0 и у > 0. Условие x ≠ 0 даёт x² > 0, а у > 0 обеспечивает положительный знаменатель. Поэтому все применяемые логарифмы имеют допустимые аргументы.
Ответ: 2 + 2log₃|x| − log₃у. Модуль нужен потому, что log₃(x²) = 2log₃|x| при любом x ≠ 0.
3. Вычислить log₄7 · log₇16. Основания и аргументы во втором множителе позволяют применить взаимную обратность, но сначала нужно привести логарифмы к общей форме.
Ответ: 2. То же следует из log₄7 = 1/log₇4 и log₇16 = 2log₇4.
1. Запись logₐ(x + y) = logₐx + logₐy неверна: свойство произведения не переносится на сумму. Ошибка возникает из-за механического сходства формул. Проверьте знак между аргументами: для суммы специального правила в общем случае нет.
2. Нельзя применять логарифм к нулю или отрицательному числу. Такие аргументы иногда появляются после раскрытия скобок или сокращения дроби. Перед преобразованием выпишите условия: каждый аргумент должен быть строго больше нуля.
3. Показатель степени нельзя выносить без проверки области определения. При отрицательном основании степени нецелый показатель обычно не задаёт действительного числа, а logₐx при x < 0 не существует. Сначала проверьте основание логарифма, знак x и определённость xʳ.
4. Перестановка основания и аргумента меняет значение: logₐb = 1/logᵦa, а не logᵦa. Путают эти выражения, забывая о взаимной обратности. Быстрая проверка — перемножить оба логарифма: результат должен быть равен 1.
До изучения свойств нужно знать определение логарифма, условия a > 0, a ≠ 1, b > 0 и правила действий со степенями. Эти формулы затем используются для упрощения выражений, решения логарифмических уравнений и неравенств. Они также помогают исследовать логарифмическую функцию и переходить между разными основаниями.
Почему логарифм произведения превращается в сумму логарифмов?
Если x₁ = aˣ и x₂ = aʸ, то x₁x₂ = aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ. Поэтому показатель степени для произведения равен сумме показателей, то есть logₐ(x₁x₂) = logₐx₁ + logₐx₂.
Можно ли разложить логарифм суммы по свойству произведения?
Нет, формулы logₐ(x + y) = logₐx + logₐy в общем случае не существует. Свойство связано именно с умножением аргументов, а не с их сложением.
При каких условиях можно вынести степень из-под логарифма?
В действительных логарифмах обычно требуется a > 0, a ≠ 1 и x > 0, а показатель r может быть любым действительным числом. Дополнительно выражение xʳ должно быть определено; при отрицательном x не следует применять формулу, поскольку logₐx не существует.
Как перейти от логарифма с одним основанием к другому?
Используют формулу logₐb = log𝚌b / log𝚌a. Здесь a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, а log𝚌a ≠ 0.
Почему logₐb и logᵦa не равны, а являются взаимно обратными?
Из формулы перехода к новому основанию получается logₐb = 1 / logᵦa. Поэтому произведение этих логарифмов равно 1, но сами числа совпадают только в отдельных случаях, например при a = b.
§ 16. Свойства логарифмов
