§ 17. Логарифмические уравнения

Определения и обозначения

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма или в его основании. Например, в log₂(x − 1) переменная входит в аргумент, а в logₓ 8 — в основание. В показательном уравнении переменная находится в показателе степени, например 2ˣ = 8. Различие важно: для логарифмического уравнения нужно контролировать условия существования логарифма.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых каждый логарифм в уравнении определён. Для logₐ u требуется a > 0, a ≠ 1 и u > 0. Если основание или аргумент зависит от переменной, соответствующие условия становятся неравенствами, которые нужно решить. ОДЗ помогает отсеять значения, которые не могут быть корнями.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид logₐ f(x) = b. При допустимом основании оно равносильно равенству f(x) = aᵇ, причём аргумент должен быть положительным. Это следует из определения логарифма: logₐ y = b означает, что aᵇ = y. Такой переход превращает логарифмическую запись в более привычное уравнение.

Посторонний корень — значение, полученное в ходе решения, которое не удовлетворяет исходному уравнению. Он может возникнуть, если преобразование не сохраняет равносильность или если при решении забыли об ОДЗ. Поэтому найденные значения проверяют в исходном уравнении, а не только в преобразованном.

Как это устроено

Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм определён не при любых значениях аргумента и основания. Например, выражение log₃(x − 2) существует только при x − 2 > 0. Если выполнить преобразования до проверки этого условия, можно включить в ответ число, при котором исходное выражение вообще не имеет смысла. ОДЗ задаёт границы поиска корней и помогает проверить, сохраняют ли преобразования допустимые значения.

Уравнение logₐ f(x) = b заменяют равенством f(x) = aᵇ, если a > 0 и a ≠ 1. Основание с такими условиями задаёт логарифмическую функцию, обратную функции возведения в степень с тем же основанием. Поэтому логарифм числа равен b ровно тогда, когда это число получается при возведении a в степень b. После перехода всё равно нужно учитывать исходное условие f(x) > 0.

Если логарифмы имеют одинаковое основание, например logₐ f(x) = logₐ g(x), приравнивают аргументы: f(x) = g(x). Основания должны быть допустимыми, совпадать друг с другом, а оба аргумента — быть положительными. При этих условиях логарифмическая функция принимает каждое значение только при одном аргументе, поэтому равенство логарифмов означает равенство аргументов. Если основания разные, этот вывод делать нельзя.

Свойства логарифмов позволяют объединять выражения, например заменить сумму логарифмов произведением аргументов при одинаковом основании: logₐ u + logₐ v = logₐ(uv). Обратное разложение тоже может сделать уравнение проще, если один из множителей можно приравнять к нужному выражению. При этом свойства применимы лишь к допустимым логарифмам, поэтому условия на аргументы и основания сохраняют. После преобразований нужно сопоставить полученные решения с ОДЗ исходного уравнения.

Если в уравнении несколько одинаковых логарифмических выражений, его можно рассматривать как квадратное относительно логарифма. Например, при t = log₂ x выражение (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 превращается в t² − 3t + 2. Сначала решают квадратное уравнение, затем каждое значение t подставляют в равенство log₂ x = t и находят x. В конце проверяют, что x удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения; найденное t само по себе ещё не является ответом.

Основные способы решения логарифмических уравнений

Сначала определите, к какому виду ближе уравнение, и выпишите ОДЗ. Затем выберите соответствующее преобразование из таблицы, не забывая об ограничениях. После решения проверьте каждый кандидат в исходной записи.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение log₂(x − 1) = 3. Аргумент зависит от x, поэтому сначала найдём, где логарифм существует. Затем воспользуемся определением логарифма и проверим найденное число по исходному условию.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, значит x > 1.
2. По определению логарифма x − 1 = 2³ = 8.
3. Решаем полученное уравнение: x = 9. Проверка: 9 > 1, а log₂(9 − 1) = log₂ 8 = 3.

Ответ: x = 9. Проверка подтверждает, что число допустимо и удовлетворяет исходному уравнению.

Задача 2. Решить уравнение log₃(x + 1) = log₃(7 − x). Здесь основания совпадают, но прежде чем приравнивать аргументы, нужно убедиться, что оба логарифма существуют. После решения линейного уравнения проверим полученное значение отдельно по обоим ограничениям.

1. ОДЗ: x + 1 > 0 и 7 − x > 0, то есть −1 < x < 7.
2. Основания одинаковы и допустимы: 3 > 0, 3 ≠ 1. Поэтому приравниваем аргументы: x + 1 = 7 − x.
3. Решаем: 2x = 6, откуда x = 3. Это число принадлежит промежутку ОДЗ; подстановка даёт log₃ 4 = log₃ 4.

Ответ: x = 3. Равенство аргументов применено только после проверки основания и положительности аргументов.

Задача 3. Решить уравнение (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0. Повторяющееся выражение log₂ x играет роль неизвестной в квадратном уравнении. Сделаем замену, найдём возможные значения логарифма, а затем восстановим x и проверим условия исходной записи.

1. ОДЗ исходного уравнения: x > 0. Введём t = log₂ x; получим t² − 3t + 2 = 0.
2. Разложим квадратный трёхчлен: (t − 1)(t − 2) = 0. Поэтому t = 1 или t = 2.
3. Возвращаемся к x: log₂ x = 1 даёт x = 2, а log₂ x = 2 даёт x = 4.
4. Оба значения положительны; подстановка даёт соответственно 1² − 3 · 1 + 2 = 0 и 2² − 3 · 2 + 2 = 0.

Ответ: x = 2; x = 4. Проверка показала, что оба корня допустимы и удовлетворяют исходному уравнению.

Типичные ошибки

Первая ошибка — не учитывать ОДЗ и сразу выполнять привычные алгебраические преобразования. Так поступают, когда воспринимают логарифм как обычное выражение и забывают об ограничениях на аргумент. В итоге в ответ может попасть число с неположительным аргументом. Проверяйте себя: выпишите условия существования каждого логарифма до решения.

Вторая ошибка — приравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями. Правило запоминают слишком широко, хотя оно работает лишь при одинаковом допустимом основании. Для самопроверки сравните основания в обеих частях; если они не совпадают, нельзя сразу записывать равенство аргументов.

Третья ошибка — считать logₐ u = logₐ v равносильным u = v, не проверяя условия. Такое рассуждение требует a > 0, a ≠ 1 и положительных аргументов. Проверяйте все три условия прежде, чем приравнивать аргументы, особенно если основание или аргумент зависит от переменной.

Четвёртая ошибка — не проверять ответ после преобразований или замены переменной. Ошибочно считать, что корень полученного уравнения автоматически подходит исходному. Сопоставьте каждое значение с ОДЗ, а затем подставьте его в исходную запись; не прошедший проверку результат исключите как посторонний корень.

Связь с другими темами

Для решения нужны определение логарифма, его свойства и условия существования: без них нельзя перейти к показательному равенству или правильно объединить логарифмы. Также пригодятся навыки решения уравнений и неравенств, нахождения ОДЗ и решения квадратных уравнений. Эти действия позволяют отделять допустимые ответы от посторонних и выбирать подходящий метод. Позже те же знания понадобятся при решении логарифмических неравенств, исследовании функций с логарифмами и изучении математического анализа.

Что запомнить

• Аргумент каждого логарифма должен быть положительным.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
• ОДЗ находят до преобразований уравнения.
• При одинаковых допустимых основаниях равные логарифмы имеют равные аргументы.
• Уравнение logₐ f(x) = b можно заменить равенством f(x) = aᵇ при допустимом основании.
• После решения нужно проверить корни по ОДЗ и в исходном уравнении.