§ 18. Логарифмические неравенства

Определения и обозначения

Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, log₂(x − 1) > 1 содержит переменную в аргументе. Чтобы найти решения, нужно не только преобразовать неравенство, но и проверить, существует ли каждый логарифм.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл. Для логарифма logₐ f(x) необходимо, чтобы f(x) > 0, a > 0 и a ≠ 1. ОДЗ задаёт ограничения, которые помогают отбросить посторонние значения после решения.

Равносильное преобразование — переход к неравенству с тем же множеством решений. При сравнении логарифмов с одинаковым основанием знак сохраняется, если основание больше 1, и меняется на противоположный, если 0 < a < 1. Это различие связано с тем, возрастает или убывает логарифмическая функция.

Метод интервалов — способ решать неравенства, сведённые к рациональным. Нули множителей и точки, в которых выражение не определено, отмечают на числовой прямой: они делят её на промежутки. На каждом промежутке знак выражения постоянен, поэтому достаточно проверить по одной точке.

Как это устроено

Решение начинают с ОДЗ: для каждого логарифма записывают положительность аргумента и условия для основания. Причина в том, что логарифм существует только при положительном аргументе и положительном основании, отличном от 1. Эти ограничения относятся к исходному неравенству и не исчезают после упрощения. Поэтому найденные решения в конце обязательно пересекают с ОДЗ.

Если основания логарифмов одинаковы и больше 1, сравнение логарифмов можно заменить сравнением аргументов без смены знака. Например, log₃ f(x) > log₃ g(x) равносильно f(x) > g(x), когда f(x) и g(x) положительны. Это работает потому, что функция y = log₃ x возрастает: при увеличении аргумента увеличивается и значение логарифма. Ограничения на аргументы всё равно нужно сохранить.

При основании от 0 до 1 логарифмическая функция убывает, поэтому порядок значений меняется на обратный. Например, из log₁⁄₃ f(x) > log₁⁄₃ g(x) следует f(x) < g(x), а не f(x) > g(x). Причина та же: большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Это правило применяют только после проверки положительности обоих аргументов.

Чтобы сравнить логарифм с числом, число представляют как логарифм с тем же основанием. Например, 1 = log₂ 2, поэтому log₂(x − 1) > 1 можно записать как log₂(x − 1) > log₂ 2. Теперь основания совпадают, и при основании 2 аргументы сравнивают с тем же знаком. Если основание находится между 0 и 1, знак при таком переходе пришлось бы поменять.

Когда переменная стоит в основании, монотонность нельзя определить, пока неизвестно значение основания. Поэтому сначала по ОДЗ выделяют два случая: 0 < a < 1 и a > 1. В первом случае логарифмическая функция убывает, во втором — возрастает, и сравнение аргументов выполняется по разным правилам. Полученные множества объединяют, оставляя только значения, допустимые по ОДЗ.

Сравнение логарифмов с одинаковым основанием

В таблице f(x) и g(x) обозначают аргументы логарифмов. Сначала убедитесь, что оба аргумента положительны, а основание положительно и не равно 1. Затем выберите нужный столбец по значению основания и перенесите сравнение на аргументы.

Разбор задач

Решим три неравенства, последовательно применяя ОДЗ и правило монотонности. В каждом примере сначала устанавливаем, где логарифмы существуют, а затем преобразуем сравнение. В конце сверяем найденное множество с первоначальными ограничениями.

1. Решите неравенство log₂(x − 1) > 1.

1. Из условия x − 1 > 0 получаем ОДЗ: x > 1. Основание 2 допустимо, поскольку оно положительно и не равно 1.

2. Представим 1 как log₂ 2. Функция с основанием 2 возрастает, поэтому сравниваем аргументы без изменения знака: x − 1 > 2, откуда x > 3.

3. Все числа x > 3 удовлетворяют ОДЗ x > 1. Значит, пересечение с ОДЗ не меняет результат.

Ответ: x > 3.

2. Решите неравенство log₁⁄₃(2x + 1) ≤ log₁⁄₃(x + 4).

1. Для первого аргумента требуется 2x + 1 > 0, то есть x > −½. Для второго нужно x + 4 > 0, то есть x > −4, поэтому общая ОДЗ: x > −½.

2. Основание ⅓ лежит между 0 и 1, значит, логарифмическая функция убывает. При переходе к аргументам знак меняется: 2x + 1 ≥ x + 4.

3. Решаем полученное неравенство: x ≥ 3. Все такие значения входят в ОДЗ x > −½, поэтому дополнительных исключений нет.

Ответ: x ≥ 3.

3. Решите неравенство log₍ₓ₋₁₎(5 − x) > 1.

1. Аргумент должен быть положительным: 5 − x > 0, то есть x < 5. Основание x − 1 должно быть положительным и не равным 1: x > 1, x ≠ 2.

2. Разбиваем ОДЗ на случаи. При 1 < x < 2 основание находится между 0 и 1, а при 2 < x < 5 оно больше 1.

3. Запишем 1 = log₍ₓ₋₁₎(x − 1). В случае 1 < x < 2 функция убывает, поэтому нужно 5 − x < x − 1, откуда x > 3; в этом случае решений нет.

4. При 2 < x < 5 функция возрастает, поэтому 5 − x > x − 1. Решение — x < 3; с ограничениями случая получаем 2 < x < 3.

Ответ: 2 < x < 3.

Типичные ошибки

Забывают проверить положительность аргументов или условие a ≠ 1. Обычно так происходит, когда сразу начинают преобразования и считают ОДЗ необязательной формальностью. Проверка: выпишите ограничения для каждого логарифма до решения и убедитесь, что ответ им удовлетворяет.

При основании 0 < a < 1 знак сравнения аргументов иногда оставляют прежним. Причина — правило для возрастающей функции ошибочно переносят на убывающую. Проверка: вспомните направление монотонности или сравните, например, log₁⁄₂ 2 и log₁⁄₂ 4.

Бывает и обратная ошибка: знак меняют при a > 1. Её допускают, путая два случая монотонности. Проверка: при основании больше 1 функция возрастает, значит, большему аргументу соответствует больший логарифм и порядок сохраняется.

Наконец, решают преобразованное неравенство, но не пересекают ответ с ОДЗ. Тогда в множество решений могут попасть значения, при которых исходный логарифм не существует. Проверка: подставьте границы и подозрительные точки в условия на аргументы и основание, затем исключите недопустимые значения.

Связь с другими темами

Для решения нужны свойства логарифмической функции, её область определения и монотонность при основаниях больше 1 и от 0 до 1. После преобразований часто возникают рациональные неравенства, которые решают методом интервалов, учитывая нули и запрещённые значения знаменателей. Логарифмические неравенства встречаются в смешанных уравнениях и неравенствах, при исследовании функций и в задачах с показательной зависимостью.

Что запомнить

• Сначала выписывают ОДЗ.
• Основание логарифма положительно и не равно 1.
• Аргумент каждого логарифма положителен.
• При основании больше 1 логарифмическая функция возрастает.
• При основании между 0 и 1 логарифмическая функция убывает.
• При переменном основании разбирают случаи 0 < a < 1 и a > 1.
• Ответ обязательно пересекают с ОДЗ.