§ 45. Логарифмические неравенства

Определения и обозначения

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент логарифма или в его основание. Например, в log₂(x − 1) переменная находится в аргументе, а в logₓ(x + 2) — в основании. Чтобы выражение имело смысл, его решения должны удовлетворять условиям существования всех логарифмов.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического неравенства — множество значений переменной, при которых каждое основание положительно и не равно 1, а каждый аргумент положителен. Эти условия записывают до преобразований и затем учитывают при отборе ответа. ОДЗ не заменяет решение неравенства: она отсекает значения, при которых исходное выражение не определено.

Монотонность логарифмической функции — свойство изменяться только в одном направлении: при основании a > 1 функция y = logₐx возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Поэтому одинаковый рост аргумента при разных основаниях приводит к разному направлению изменения значения логарифма. Знание монотонности позволяет сравнивать логарифмы и правильно выбирать знак после преобразования.

Как это устроено

Логарифм logₐx показывает, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x. Если a > 0 и a ≠ 1, то функция y = logₐx определена при x > 0. Поэтому сравнение логарифмов с одинаковым основанием можно перевести в сравнение аргументов: значения функции упорядочены так же, как аргументы, если функция возрастает, и в обратном порядке, если убывает.

При a > 1 функция y = logₐx возрастает: если аргумент увеличивается, увеличивается и значение логарифма. Значит, из logₐf(x) > logₐg(x) следует f(x) > g(x), а знак сохраняется. При 0 < a < 1 функция убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньший аргумент: при таком основании знак сравнения аргументов меняют на противоположный.

Неравенство с числом справа можно свести к сравнению аргумента со степенью основания. Например, logₐf(x) > c означает, что значение функции в точке f(x) больше c; поскольку logₐ(aᶜ) = c, сравнивают f(x) и aᶜ. При a > 1 получают f(x) > aᶜ, а при 0 < a < 1 — f(x) < aᶜ. Для знака < направления будут обратными, и в обоих случаях требуется f(x) > 0.

ОДЗ находят до преобразований, потому что в исходном неравенстве логарифмы существуют не при любых x. Если решать только полученное после преобразования неравенство, можно случайно включить значения с неположительным аргументом или недопустимым основанием. Поэтому итог — это пересечение множества, найденного из неравенства, с ОДЗ, то есть множество значений, удовлетворяющих обоим условиям.

Если основание зависит от x, нельзя заранее выбрать направление сравнения для всей числовой прямой. Сначала ОДЗ делят на случаи a(x) > 1 и 0 < a(x) < 1, исключая a(x) = 1. В каждом случае применяют соответствующее правило монотонности и решают полученное неравенство вместе с условиями этого случая. Затем объединяют решения случаев и оставляют только значения из ОДЗ.

Сведение логарифмических неравенств к сравнению аргументов

Сначала выбери строку с нужным видом неравенства и проверь условие на основание. Затем замени логарифмическое сравнение указанным сравнением аргументов, не забывая дополнительные условия. Если основание зависит от x, таблицу применяют отдельно в каждом допустимом случае.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство log₂(x − 1) > log₂3.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент x − 1 должен быть положительным, поэтому x > 1; основание 2 допустимо, так как 2 > 0 и 2 ≠ 1.
2. Основание больше 1, значит логарифмическая функция возрастает, а знак при сравнении аргументов сохраняется. Получаем x − 1 > 3.
3. Решаем полученное неравенство: x > 4. Пересечение с ОДЗ x > 1 не меняет результат.

Ответ: x > 4.

Задача 2. Решить неравенство log₁⁄₃(2x + 1) ≤ log₁⁄₃(5 − x).

1. Запишем условия существования: 2x + 1 > 0 и 5 − x > 0. Отсюда x > −½ и x < 5, то есть ОДЗ: −½ < x < 5.
2. Основание ⅓ находится между 0 и 1, поэтому функция убывает. При переходе к сравнению аргументов знак меняется: 2x + 1 ≥ 5 − x.
3. Решаем: 3x ≥ 4, значит x ≥ 4⁄3. Пересекаем это множество с ОДЗ: все значения от 4⁄3 до 5, не включая 5.

Ответ: x ∈ [4⁄3; 5).

Задача 3. Решить неравенство logₓ(x + 2) > 1.

1. Для основания нужны условия x > 0 и x ≠ 1, а для аргумента — x + 2 > 0. Вместе они дают ОДЗ: x > 0, x ≠ 1.
2. Разобьём ОДЗ на случаи. Если x > 1, основание больше 1, поэтому неравенство равносильно x + 2 > x¹, то есть x + 2 > x. Это верно при любом x из данного случая.
3. Если 0 < x < 1, основание меньше 1, поэтому знак меняется: x + 2 < x¹. Получается 2 < 0, что невозможно, значит в этом случае решений нет.
4. Объединяем результаты двух случаев: подходят все x > 1. Условие на аргумент выполнено для этих значений, так как x + 2 положительно.

Ответ: x > 1.

Типичные ошибки

Сравнивают аргументы логарифмов, не проверив основание. Так часто делают по аналогии с обычными неравенствами, забывая, что при 0 < a < 1 функция убывает. Перед преобразованием проверь, к какому промежутку относится основание; при основании меньше 1 знак нужно изменить.

Забывают условие положительности аргумента, и в ответ попадают недопустимые значения. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на полученном сравнении аргументов. Выпиши условия f(x) > 0 для каждого логарифма и в конце пересечь с ними найденное множество.

Считают, что основание может быть равно 1 или быть неположительным. Это происходит из-за того, что в решении проверяют только аргументы. Убедись, что для каждого основания выполнены оба требования: a > 0 и a ≠ 1; значения, которые им не удовлетворяют, не могут войти в ответ.

При переменном основании не разбивают решение на случаи a(x) > 1 и 0 < a(x) < 1. Тогда направление сравнения выбирают как будто основание постоянно, хотя на разных промежутках функция может вести себя по-разному. Проверь знак и допустимость основания до преобразования, отдельно реши каждый случай, а затем объедини результаты.

Связь с другими темами

Для решения логарифмических неравенств нужно знать определение логарифма, его область определения и свойства логарифмической функции. Также пригодятся обычные способы решения неравенств: преобразование выражений, работа с системами и пересечение множеств решений с ОДЗ. Эти навыки позволяют не потерять условия, при которых исходное выражение существует.

Логарифмические неравенства встречаются при решении логарифмических уравнений, а также смешанных уравнений и неравенств. В таких задачах логарифмические преобразования сочетаются с другими алгебраическими приёмами. Умение находить ОДЗ и учитывать монотонность помогает проверять допустимость каждого шага.

Что запомнить

• Основание логарифма положительно и не равно 1.
• Аргумент каждого логарифма должен быть положительным.
• При a > 1 функция y = logₐx возрастает.
• При 0 < a < 1 функция y = logₐx убывает.
• При сравнении логарифмов с одинаковым основанием знак сохраняется для a > 1 и меняется для 0 < a < 1.
• При переменном основании сначала рассматривают допустимые случаи для основания.
• Ответ должен одновременно удовлетворять полученным неравенствам и ОДЗ.