"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Такие неравенства помогают находить значения переменной, при которых одно выражение больше или меньше другого. Решение обычно начинают с области допустимых значений: аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания — положительными и не равными 1. Затем учитывают, возрастает или убывает логарифмическая функция, и обязательно проверяют итоговый ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, в log₂(x − 1) > 0 переменная находится в аргументе. Это название помогает сразу заметить, что при решении нужно следить не только за знаком неравенства, но и за существованием логарифма.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения неизвестной, при которых все логарифмы определены: аргументы положительны, а основания положительны и не равны 1. Например, для log₃(x − 2) требуется x − 2 > 0. ОДЗ нужна, чтобы исключить значения, для которых исходное выражение не имеет смысла.
Монотонность логарифмической функции — её возрастание при основании a > 1 и убывание при 0 < a < 1. Возрастание означает, что большему аргументу соответствует большее значение функции, а при убывании — наоборот. Это свойство определяет, сохранять или менять знак неравенства при сравнении аргументов.
Равносильное преобразование — переход к неравенству с теми же решениями при соблюдении ОДЗ. Например, логарифмы с одинаковым основанием можно заменить сравнением аргументов, если учтена монотонность функции. Понятие нужно, чтобы отличать безопасное преобразование от шага, который может добавить лишние решения.
Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм существует только при допустимых значениях аргумента и основания. Для каждого аргумента составляют отдельное условие «выражение больше нуля», а если основание зависит от переменной — проверяют и его ограничения. Получившийся набор условий решают и сохраняют для последнего шага. Так преобразования не приведут к ответу, в котором исходное выражение не определено.
Если основания логарифмов одинаковы и больше 1, можно сравнить аргументы в том же порядке. Причина в том, что функция logₐ x возрастает: при увеличении аргумента увеличивается и значение логарифма. Поэтому logₐ f(x) > logₐ g(x) равносильно f(x) > g(x), но только при положительности обоих аргументов. Сначала проверяют это условие по ОДЗ, а затем решают полученное неравенство.
При общем основании между 0 и 1 функция убывает, поэтому большему аргументу соответствует меньший логарифм. Из-за этого при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов направление неравенства меняется: например, logₐ f(x) > logₐ g(x) означает f(x) < g(x). Условия f(x) > 0 и g(x) > 0 всё равно остаются обязательными. Если забыть о направлении изменения функции, получится противоположное множество решений.
Неравенство, где логарифм сравнивают с числом, сводят к сравнению аргумента со степенью основания: c = logₐ(aᶜ). При a > 1 неравенство logₐ f(x) > c даёт f(x) > aᶜ, а при 0 < a < 1 — f(x) < aᶜ, потому что функция убывает. Степень aᶜ положительна при допустимом основании, однако аргумент f(x) всё равно должен удовлетворять ОДЗ. Направление исходного сравнения важно учитывать и для знаков «меньше» и «не меньше».
Свойства логарифма позволяют раскрывать логарифм произведения или дроби, а иногда — объединять слагаемые в один логарифм. Это удобно, когда после преобразования получается сравнение аргументов или более простое неравенство. Однако свойства применяют только к положительным аргументам, а сравнение логарифмов допустимо выполнять с учётом их оснований. После решения объединяют условия преобразованного неравенства с ОДЗ исходного.
На графике видно, что log₂ x возрастает, а log₁⁄₂ x убывает. Обе функции определены только при x > 0 и проходят через точку (1; 0), ведь логарифм единицы равен нулю. По виду графиков можно проверить, почему у одинакового сравнения логарифмов меняется направление сравнения аргументов при основании меньше 1.
| Вид неравенства | Условие на основание | Равносильный переход | Условие на аргументы |
|---|---|---|---|
| logₐ f(x) > logₐ g(x) | a > 1 | f(x) > g(x) | f(x) > 0 и g(x) > 0 |
| logₐ f(x) > logₐ g(x) | 0 < a < 1 | f(x) < g(x) | f(x) > 0 и g(x) > 0 |
| logₐ f(x) > c | a > 1 | f(x) > aᶜ | f(x) > 0 |
| logₐ f(x) > c | 0 < a < 1 | f(x) < aᶜ | f(x) > 0 |
Сначала найдите строку, которая соответствует виду неравенства, и проверьте условие на основание. Затем выполните указанный переход, не забывая про условие на аргументы. В конце пересеките найденные значения с ОДЗ исходного неравенства.
Запишем ОДЗ: x − 1 > 0 и 3 − x > 0. Отсюда x > 1 и x < 3, то есть допустимы только значения из промежутка (1; 3). Это ограничение понадобится при проверке ответа.
Оба логарифма имеют основание 2, а 2 > 1, поэтому функция возрастает и порядок сравнения сохраняется. Сравниваем аргументы: x − 1 > 3 − x. Решение — x > 2.
Пересекаем условие x > 2 с ОДЗ 1 < x < 3. Подходят числа больше 2, но меньше 3. Ответ: (2; 3).
Сначала найдём ОДЗ: 2x + 1 > 0, откуда x > −½. Основание ⅓ положительно и не равно 1, значит логарифм допустим. Отдельно сохраняем это ограничение до конца решения.
Основание находится между 0 и 1, поэтому логарифмическая функция убывает. Число 1 равно log₁⁄₃(⅓), следовательно, из log₁⁄₃(2x + 1) ≤ log₁⁄₃(⅓) получаем 2x + 1 ≥ ⅓. Знак меняется именно из-за убывания функции.
Решаем линейное неравенство: 2x ≥ −⅔, значит x ≥ −⅓. Пересечение с ОДЗ x > −½ не убирает новых значений, так как −⅓ больше −½. Ответ: [−⅓; +∞).
ОДЗ требует x² − 5x + 6 > 0 и x − 1 > 0. Первое выражение раскладывается как (x − 2)(x − 3), поэтому оно положительно при x < 2 или x > 3; второе условие даёт x > 1. Вместе получаем ОДЗ: (1; 2) ∪ (3; +∞).
Основание 2 больше 1, значит логарифмическая функция возрастает и можно сравнить аргументы: x² − 5x + 6 > x − 1. Переносим всё влево: x² − 6x + 7 > 0. Корни соответствующего квадратного трёхчлена — 3 − √2 и 3 + √2.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, трёхчлен положителен вне корней: x < 3 − √2 или x > 3 + √2. Пересекаем эти промежутки с ОДЗ (1; 2) ∪ (3; +∞). Ответ: (1; 3 − √2) ∪ (3 + √2; +∞).
Если не записать положительность аргументов, в ответ могут попасть значения, при которых логарифм не существует. Так часто происходит, когда выражение в аргументе выглядит очевидно положительным, хотя содержит переменную. Проверяйте каждый аргумент отдельным неравенством и подставляйте границы найденных промежутков в исходные выражения. Условия основания тоже нельзя опускать, если оно зависит от неизвестной.
При основании 0 < a < 1 некоторые сохраняют знак, как при основании больше 1. Причина ошибки — привычка считать переход к аргументам обычным сравнением, без учёта убывания функции. Перед преобразованием проверьте, в какой промежуток попадает основание, и представьте, как меняются значения функции при увеличении аргумента. Для убывающей функции знак при переходе обязательно меняется на противоположный.
Сравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями напрямую нельзя: монотонность одной функции не определяет поведение другой. Ошибка возникает, когда знакомое правило для одинаковых оснований переносят на любой случай. Сначала проверьте, действительно ли основания совпадают; иначе обоснуйте приведение к общей основе и заново учтите монотонность. Без такого обоснования переход может изменить множество решений.
Даже правильно решив полученное квадратное неравенство, можно оставить в ответе лишние значения. Преобразования не отменяют ограничений исходных логарифмов, но при вычислениях о них легко забыть. Для самопроверки выпишите рядом ОДЗ и пересеките её с каждым найденным промежутком. Значения, не входящие в ОДЗ, в ответ включать нельзя.
Для решения нужны определение логарифма и его свойства: без них нельзя перейти от логарифмов к степеням или преобразовать выражения. Монотонность логарифмической функции объясняет, как сравнивать аргументы, а решение линейных и квадратных неравенств помогает завершить вычисления. Логарифмические неравенства, в свою очередь, используются в показательных и смешанных показательно-логарифмических неравенствах. Ещё они помогают исследовать, на каких промежутках выражение сохраняет знак.
Почему при основании меньше 1 знак неравенства меняется?
При 0 < a < 1 функция y = logₐ x убывает: большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Поэтому при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов порядок меняется на противоположный.
Нужно ли записывать ОДЗ, если аргументы логарифмов уже выглядят положительными?
Да, потому что выражение в аргументе может быть положительным не при всех значениях переменной. Решите условие f(x) > 0 для каждого аргумента и учтите основания логарифмов; иначе в ответ могут попасть недопустимые значения.
Можно ли сравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями?
Напрямую — нельзя: монотонность зависит от основания, и функции могут иметь разное поведение. Сначала нужно обоснованно преобразовать выражения к общей основе, сохранить ОДЗ и определить, возрастает или убывает соответствующая функция.
Как решить неравенство, в котором логарифм сравнивают с числом?
Представьте число c как логарифм основания a от степени aᶜ. При a > 1 из logₐ f(x) > c следует f(x) > aᶜ, а при 0 < a < 1 — f(x) < aᶜ. В обоих случаях отдельно требуется f(x) > 0.
Почему после решения квадратного неравенства нужно дополнительно проверять ОДЗ?
Квадратное неравенство получается после преобразования, но его решения не обязательно подходят исходному логарифму. Пересечение с ОДЗ исключает значения, при которых аргумент не положителен.
Логарифмические неравенства
