"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором переменная находится в аргументе или основании логарифма. Чтобы найти его решения, сначала определяют область допустимых значений: аргументы должны быть положительными, а основания — положительными и не равными 1. Затем используют монотонность логарифмической функции и свойства логарифмов. Главное — учитывать основание: при основании больше 1 знак сравнения сохраняется, а при основании между 0 и 1 меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическим называют неравенство, в котором переменная входит в аргумент или основание логарифма. Например, log₂(x − 1) > 3 содержит переменную в аргументе, а logₓ4 < 2 — в основании. В таких выражениях важно учитывать ограничения на логарифм ещё до преобразований. Это помогает не включить в ответ значения, при которых исходное неравенство не определено.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — это множество значений переменной, при которых все выражения исходного неравенства имеют смысл. У каждого основания логарифма должны выполняться условия: оно положительно и не равно 1; каждый аргумент должен быть положительным. Например, для log₂(x − 1) ОДЗ задаётся условием x − 1 > 0, то есть x > 1. ОДЗ ограничивает область поиска решений.
Монотонность логарифмической функции — это свойство изменяться в одном направлении: функция y = logₐx возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. При возрастании большему аргументу соответствует большее значение функции, при убывании — меньшее. Это свойство объясняет, почему при сравнении логарифмов иногда сохраняют знак неравенства, а иногда меняют его. Без учёта монотонности легко получить неверный ответ.
Равносильное преобразование — это переход к неравенству с тем же множеством решений. Для логарифмических неравенств такое преобразование проводят с учётом ОДЗ и поведения логарифмической функции. Например, сравнение логарифмов с одним основанием можно заменить сравнением их аргументов, но направление зависит от основания. Понятие равносильности нужно, чтобы понимать, какие шаги сохраняют решения, а какие требуют дополнительной проверки.
Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм существует только при положительном аргументе. Кроме того, основание должно быть положительным и отличным от 1: при иных значениях логарифмическая функция не определена. Если сразу преобразовать неравенство, можно получить значения, которые удовлетворяют новой записи, но не подходят для исходной. Поэтому ограничения удобно выписать отдельно и использовать в конце как проверку.
Если в неравенстве стоят логарифмы с одинаковым основанием, их сравнение сводят к сравнению аргументов. Причина в том, что логарифмическая функция при фиксированном основании либо всё время возрастает, либо всё время убывает. При a > 1 больший аргумент даёт больший логарифм, поэтому знак сохраняют. При 0 < a < 1 больший аргумент даёт меньший логарифм, поэтому знак меняют на противоположный.
Неравенство вида logₐf(x) > b тоже можно свести к сравнению без логарифма: число b представляют как logₐ(aᵇ). Тогда сравниваются логарифмы с одним основанием, и остаётся применить их монотонность. Если a > 1, получаем f(x) > aᵇ; если 0 < a < 1, получаем f(x) < aᵇ. Условие f(x) > 0 всё равно сохраняется, поскольку это аргумент исходного логарифма.
Свойства логарифмов помогают упростить выражение до одного логарифма или до алгебраического неравенства. Например, при положительных u и v сумма logₐu + logₐv равна logₐ(uv), если основания одинаковы. Коэффициент перед логарифмом можно вынести в степень аргумента: k logₐu = logₐ(uᵏ), когда обе записи допустимы. Эти правила нельзя применять к логарифмам с разными основаниями, а условия положительности аргументов необходимо проверить.
После преобразования решают полученное линейное, квадратное или другое неравенство, но найденное множество ещё не всегда является ответом. Его пересекают с ОДЗ, то есть оставляют только значения, при которых исходные логарифмы существуют. Например, если алгебраическое решение даёт x < 5, а ОДЗ требует x > 1, итог — 1 < x < 5. Запись промежутками ясно показывает, какие значения включены в ответ.
| Основание | Монотонность y = logₐx | Из logₐf(x) > logₐg(x) следует |
|---|---|---|
| a > 1 | Функция возрастает | f(x) > g(x) |
| 0 < a < 1 | Функция убывает | f(x) < g(x) |
| В обоих случаях | Аргументы логарифмов должны быть положительными | f(x) > 0 и g(x) > 0 |
Сначала проверь, что основания действительно одинаковые и допустимые, а аргументы положительны. Затем найди строку, соответствующую основанию: при a > 1 знак сохраняется, а при 0 < a < 1 меняется. Последняя строка напоминает, что сравнение аргументов не отменяет ОДЗ.
Найдём ОДЗ: аргумент x − 1 должен быть положительным, поэтому x − 1 > 0 и x > 1. Основание 2 допустимо, так как оно положительно и не равно 1. Значит, искать решения можно только среди чисел больше 1.
Представим число 2 как логарифм с тем же основанием: 2 = log₂4, поскольку 2² = 4. Получаем log₂(x − 1) > log₂4. Функция с основанием 2 возрастает, поэтому знак при сравнении аргументов не меняется.
Сравним аргументы: x − 1 > 4, откуда x > 5. Это множество уже входит в ОДЗ x > 1. Поэтому пересечение с ОДЗ не меняет результат.
Ответ: x ∈ (5; +∞).
Сначала найдём ОДЗ: 2x + 1 > 0, следовательно, x > −½. Основание ⅓ положительно и не равно 1, поэтому допустимо. Все дальнейшие преобразования проводим только при x > −½.
Запишем −1 как log₁⁄₃3, потому что (⅓)⁻¹ = 3. Получаем log₁⁄₃(2x + 1) ≤ log₁⁄₃3. Основание находится между 0 и 1, а значит, логарифмическая функция убывает и знак сравнения аргументов нужно изменить.
Сравниваем аргументы с противоположным знаком: 2x + 1 ≥ 3. Отсюда 2x ≥ 2 и x ≥ 1. Пересекаем это множество с ОДЗ x > −½; условие x ≥ 1 уже удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: x ∈ [1; +∞).
Выпишем ограничения для обоих аргументов: x − 1 > 0 и x − 3 > 0. Одновременно они выполняются при x > 3. Это ОДЗ исходного неравенства, и оба аргумента будут положительными на всём этом промежутке.
Логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому объединяем их: log₂((x − 1)(x − 3)) ≥ 2. Записываем 2 как log₂4. Поскольку основание 2 больше 1, сравнение логарифмов равносильно сравнению аргументов с тем же знаком.
Получаем (x − 1)(x − 3) ≥ 4, или x² − 4x − 1 ≥ 0. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: x = 2 − √5 и x = 2 + √5. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями.
Алгебраическое решение имеет вид x ≤ 2 − √5 или x ≥ 2 + √5. Пересекаем его с ОДЗ x > 3: первая часть не подходит, а из второй остаётся x ≥ 2 + √5. Это пересечение исключает значения, для которых исходные логарифмы не определены.
Ответ: x ∈ [2 + √5; +∞).
Первая ошибка — не записывать ОДЗ, потому что после преобразования часто получается привычное алгебраическое неравенство. Его решения могут включать значения с неположительным аргументом исходного логарифма. Проверка: выпиши ограничения для каждого аргумента и основания до преобразований, а в конце пересеки с ними результат.
Вторая ошибка — не менять знак при основании 0 < a < 1. Это происходит, когда применяют правило для возрастающей функции, не проверив основание. Проверка: сначала определи, больше основание 1 или находится между 0 и 1; в последнем случае функция убывает и знак меняется.
Третья ошибка — сравнивать аргументы логарифмов, не убедившись, что они положительны. Правило сравнения работает только там, где оба логарифма определены. Проверка: перед переходом к аргументам укажи условия f(x) > 0 и g(x) > 0.
Четвёртая ошибка — применять свойства логарифмов к выражениям с разными основаниями или объединять сумму без общего основания. Так поступают, перенося знакомую формулу на неподходящий случай. Проверка: перед объединением убедись, что основания совпадают, а аргументы положительны; только тогда logₐu + logₐv = logₐ(uv).
Для решения логарифмических неравенств нужно знать определение логарифма и его свойства: с ними можно преобразовать исходное выражение. После перехода к аргументам часто приходится решать линейные или квадратные неравенства, поэтому нужны соответствующие правила и умение записывать ответ промежутками. Монотонность функции объясняет, почему знак сравнения зависит от основания. Этот же подход пригодится при изучении показательных неравенств и исследовании функций.
Почему при решении логарифмического неравенства нужно начинать с ОДЗ?
Логарифм определён только при положительном аргументе, а основание должно быть положительным и не равным 1. ОДЗ сразу исключает значения, при которых исходное выражение не имеет смысла, и помогает проверить итог.
В каких случаях при переходе к аргументам нужно менять знак неравенства?
Знак меняют, если общее основание логарифмов находится между 0 и 1: функция logₐx при таком основании убывает. При основании больше 1 функция возрастает, поэтому знак сохраняется.
Можно ли сравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями?
Нельзя непосредственно применять правило сравнения аргументов, если основания разные. Сначала нужно преобразовать неравенство другим способом, например привести логарифмы к общему основанию, если это возможно, и обязательно учитывать ОДЗ.
Как решить неравенство, если логарифмы с одинаковым основанием складываются?
Если аргументы положительны, логарифмы с одинаковым основанием можно объединить: logₐu + logₐv = logₐ(uv). Затем неравенство решают с учётом монотонности функции, а полученные значения пересекают с ОДЗ исходных логарифмов.
Почему найденные корни нужно дополнительно проверять по ОДЗ?
После преобразований могут появиться значения, при которых исходные аргументы логарифмов неположительны. Такие значения не являются решениями исходного неравенства, даже если подходят для преобразованного.
§ 6. Логарифмические неравенства
