§ 5. Логарифмические уравнения

Определения и обозначения

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в аргумент логарифма или в его основание. Например, в уравнении log₂(x − 1) = 3 переменная находится в аргументе. Такое уравнение решают с помощью определения логарифма и его свойств, но сначала выясняют, при каких x все логарифмы имеют смысл.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых выражения в уравнении определены. Для logₐ f(x) необходимо, чтобы a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0. Условия записывают для каждого логарифма и объединяют: подходят только значения, которые удовлетворяют им всем. ОДЗ помогает не принять невозможное значение за ответ.

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Решение преобразованного уравнения даёт кандидатов на корни, но не всегда все они подходят исходному уравнению. Поэтому каждый кандидат проверяют на принадлежность ОДЗ, а при сомнительных преобразованиях — подстановкой в исходную запись. Это позволяет отсеять посторонние значения.

Как это устроено

Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм существует не для любых значений аргумента и основания. Для каждого logₐ f(x) нужно записать a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0; если основание тоже зависит от x, условия на него также становятся неравенствами. Затем все условия соединяют: значение x должно удовлетворять каждому из них одновременно. Записанная заранее ОДЗ сохраняет ограничения исходного уравнения во время преобразований.

Если логарифмы имеют одинаковое основание, равенство logₐ f(x) = logₐ g(x) можно заменить равенством f(x) = g(x). Причина в том, что при фиксированном допустимом основании логарифмическая функция принимает каждое значение только при одном аргументе. Однако это рассуждение работает лишь при a > 0, a ≠ 1 и положительных f(x), g(x). Поэтому перед приравниванием аргументов нужно учесть ОДЗ, а не только сходство записей.

Уравнение logₐ f(x) = b удобно переводить в показательную форму: f(x) = aᵇ. Это следует из определения: логарифм числа f(x) по основанию a равен b тогда и только тогда, когда a в степени b равно f(x). Переход часто превращает логарифмическое уравнение в линейное или квадратное, которое уже можно решить знакомыми способами. После решения нужно проверить найденные x: в частности, аргумент логарифма обязан быть положительным.

Свойства логарифмов позволяют объединять сумму или разность логарифмов с одинаковым основанием, чтобы получить один логарифм и упростить уравнение. Например, сумма логарифмов положительных чисел превращается в логарифм их произведения. Условия важны: свойства произведения и частного применяются к положительным аргументам, поэтому ОДЗ исходных логарифмов никуда не исчезает. Если после преобразования решается более простое уравнение, его ответы всё равно сверяют с исходными ограничениями.

Если в аргументах несколько раз встречается одно и то же выражение, его можно обозначить новой переменной. Тогда вместо громоздкой записи может получиться, например, квадратное уравнение относительно этой переменной. Но замена не отменяет ограничений: сначала нужно понимать, какие значения новая переменная может принимать, и учитывать их при решении. Найдя её значения, возвращаются к исходному выражению, решают полученные уравнения и проверяют x по ОДЗ.

Основные приёмы решения логарифмических уравнений

Таблица подсказывает, с какого преобразования начать в типичных ситуациях. Сначала определите вид уравнения и запишите нужные ограничения, затем примените указанный переход. В последнем столбце перечислены условия, которые необходимо сохранить до проверки ответа.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение log₂(x − 1) = 3. Здесь один логарифм приравнен к числу, поэтому удобно воспользоваться определением логарифма. Сначала выясним, при каких x запись имеет смысл, а затем найдём значение переменной и сопоставим его с ограничением.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, значит, x > 1.
2. По определению логарифма x − 1 = 2³ = 8.
3. Решаем: x = 9. Это значение удовлетворяет условию x > 1.

Ответ: 9. Проверка показывает, что аргумент равен 8 и log₂8 = 3, так что найденное значение действительно обращает исходное уравнение в верное равенство.

Задача 2. Решить уравнение log₃(x + 1) = log₃(7 − x). Основания одинаковые, поэтому можно приравнять аргументы, но лишь после проверки их положительности. Запись ОДЗ одновременно покажет, находится ли найденное значение в допустимой области.

1. ОДЗ: x + 1 > 0 и 7 − x > 0, откуда −1 < x < 7.
2. Приравниваем аргументы: x + 1 = 7 − x.
3. Решаем: 2x = 6, поэтому x = 3. Число 3 принадлежит ОДЗ.

Ответ: 3. При x = 3 оба аргумента равны 4, а логарифмы имеют одно и то же допустимое основание 3, поэтому исходное равенство верно.

Задача 3. Решить уравнение log₂x + log₂(x − 2) = 3. Здесь одинаковое основание и сумма логарифмов, значит, их можно объединить в один логарифм. Перед этим найдём ОДЗ: так будет понятно, какой из кандидатов, полученных после преобразования, подходит исходному уравнению.

1. ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, следовательно, x > 2.
2. Объединяем логарифмы: log₂(x(x − 2)) = 3.
3. Переходим к показательному равенству: x(x − 2) = 2³ = 8.
4. Получаем x² − 2x − 8 = 0, то есть (x − 4)(x + 2) = 0. Кандидаты: x = 4 и x = −2.
5. Условию x > 2 удовлетворяет только x = 4. При нём исходные аргументы положительны, а равенство выполняется.

Ответ: 4. Значение −2 появляется при решении квадратного уравнения, но не подходит исходным логарифмам: при нём оба аргумента не положительны.

Типичные ошибки

Приравнивают аргументы логарифмов с разными основаниями. Так можно поступить только при одинаковом допустимом основании: правило следует из взаимной однозначности логарифма с фиксированным основанием. Ошибка возникает, когда одинаковая внешне запись кажется достаточным основанием для такого перехода. Проверьте оба основания; если они разные, выберите другой способ преобразования.

Не записывают ОДЗ до преобразований. Тогда в решении могут остаться значения с нулевым или отрицательным аргументом. Часто кажется, что достаточно решить уравнение и посмотреть на ответы, но преобразование уже могло скрыть исходные ограничения. Проверьте себя: для каждого логарифма выпишите аргумент и условие, что он больше нуля.

Считают, что логарифм определён при любом основании. В действительности основание должно быть положительным и не равным 1: иначе логарифм не задаёт нужную обратную связь с показательной функцией. Это ограничение легко упустить, если основание содержит переменную. Проверьте его отдельными условиями a > 0 и a ≠ 1.

Не проверяют ответы после преобразований. Решение полученного уравнения может дать кандидата, который не подходит исходному, например из-за отрицательного аргумента логарифма. Причина в том, что не каждое преобразование сохраняет множество решений без дополнительных ограничений. Для самопроверки подставьте каждый ответ в исходные логарифмы и убедитесь, что он принадлежит ОДЗ.

Связь с другими темами

Для решения логарифмических уравнений нужно знать определение логарифма, его свойства и условия существования: именно на них основаны переходы между записями. Также пригодятся линейные и квадратные уравнения, показательные уравнения и умение находить ОДЗ выражений. Логарифмические уравнения служат подготовкой к логарифмическим неравенствам и помогают работать с логарифмическими функциями. Поэтому точность в ограничениях важна и в следующих темах.

Что запомнить

• Для каждого логарифма аргумент должен быть положительным.
• Основание логарифма положительно и не равно 1.
• ОДЗ находят до преобразования уравнения.
• Логарифмы с одинаковым допустимым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы.
• Уравнение logₐ f(x) = b равносильно f(x) = aᵇ при выполнении условий для логарифма.
• Каждый найденный корень проверяют по ОДЗ и исходному уравнению.