§ 4. Логарифмическая функция, ее свойства и график

Определения и обозначения

Логарифм положительного числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c тогда и только тогда, когда aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Это определение переводит задачу о логарифме в задачу о степени. Такая связь помогает вычислять логарифмы и преобразовывать уравнения.

Основание логарифма a — число, для которого выполняются условия a > 0 и a ≠ 1. Если a = 1, все степени равны 1, поэтому получить разные значения b не удастся. Нулевое и отрицательное основание не подходит для степенной функции с любым действительным показателем. Ограничения нужны, чтобы логарифм был определён и однозначен.

Логарифмическая функция — функция вида y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Её аргумент x обязательно положителен: по равенству logₐ x = y имеем x = aʸ, а степень положительного основания всегда положительна. Поэтому при x = 0 или x < 0 значение функции не существует. Это условие сразу задаёт область, на которой можно строить график.

График логарифмической функции — множество точек (x; logₐ x), где x > 0. Он проходит через (1; 0), потому что a⁰ = 1, и через (a; 1), потому что a¹ = a. Эти точки помогают наметить график без вычисления большого числа значений. При любом допустимом основании график остаётся только справа от оси Oy.

Как это устроено

Равенство logₐ x = y равносильно равенству aʸ = x. Логарифм отвечает на вопрос, какой показатель нужен, чтобы из основания получить заданное число. Поэтому логарифм и возведение в степень взаимно обратны: одна операция отменяет другую. Например, если 2³ = 8, то log₂ 8 = 3.

Область определения функции — x > 0, а множество значений — все действительные числа. Первое ограничение следует из того, что aʸ всегда положительно при допустимом основании. Второе объясняется тем, что показатель y может быть любым действительным числом. Для каждого такого y число x = aʸ положительно, а значит, логарифм принимает любое действительное значение.

Если a > 1, функция y = logₐ x возрастает. Действительно, при увеличении показателя y степени aʸ тоже увеличиваются, поэтому большему x соответствует больший показатель y. График идёт снизу вверх слева направо. Например, log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2.

Если 0 < a < 1, функция убывает. При увеличении показателя степени значения aʸ становятся меньше: например, (½)¹ = ½, а (½)² = ¼. Поэтому большему x соответствует меньший показатель, и график идёт сверху вниз слева направо. Именно изменение поведения степеней, а не особое правило построения, меняет направление графика.

График y = logₐ x симметричен графику y = aˣ относительно прямой y = x. В точке показательной функции с координатами (y; aʸ) координаты при переходе к обратной функции меняются местами: получается (aʸ; y). Ось Oy служит вертикальной асимптотой: при x → 0+ функция неограниченно уходит вниз для a > 1 и вверх для 0 < a < 1. Это происходит потому, что очень малые положительные x требуют соответственно очень отрицательных или очень положительных показателей.

Свойства функции y = logₐ x

Сначала определите, к какому случаю относится основание, а затем выбирайте соответствующий столбец. Строка о знаке следует из пересечения графика с осью Ox в точке x = 1 и направления монотонности. Таблица помогает быстро проверить свойства перед построением графика или решением неравенства.

Разбор задач

Область определения

Найти область определения функции y = log₃(x − 2). Область определения — это все значения x, при которых выражение функции имеет смысл. Основание 3 допустимо, поэтому проверять нужно аргумент логарифма. Аргумент обязан быть строго положительным.

1. Запишем условие существования логарифма: x − 2 > 0. Здесь нельзя допустить равенство нулю, потому что log₃ 0 не определён. Это главное ограничение для переменной.
2. Решим неравенство: прибавим 2 к обеим частям, получим x > 2. Все числа, большие двух, подходят, а число 2 и меньшие числа — нет. Проверка, например, x = 3 даёт аргумент 1.

Ответ: область определения — (2; +∞). В подобных задачах сначала проверяют положительность аргумента, а затем решают полученное неравенство. Если в логарифме несколько выражений, положительным должно быть всё выражение под знаком логарифма.

Построение графика

Построить график y = log₂ x и указать основные свойства. Основание 2 больше единицы, поэтому график будет возрастающим. Для построения выберем аргументы, которые являются степенями двойки: тогда логарифмы находятся сразу. Также учтём, что ноль нельзя включать в область определения.

1. Отметим характерные точки: (1; 0), поскольку log₂ 1 = 0; (2; 1), поскольку log₂ 2 = 1; (4; 2), поскольку log₂ 4 = 2. Каждая пара удовлетворяет определению логарифма. Точки располагаются справа от оси Oy.
2. Проведём через точки плавную возрастающую кривую. При приближении x к нулю справа график уходит вниз, но оси Oy не касается. Поэтому x = 0 — вертикальная асимптота.
3. Укажем свойства: область определения (0; +∞), множество значений ℝ, функция возрастает и пересекает ось Ox в точке (1; 0). При 0 < x < 1 её значения отрицательны, а при x > 1 — положительны. Эти признаки согласуются с выбранными точками.

Ответ: график проходит через (1; 0), (2; 1), (4; 2), возрастает и имеет асимптоту x = 0. Перед построением полезно отметить область определения: иначе можно ошибочно продолжить график влево от оси Oy. Характерные точки и направление изменения задают форму кривой.

Сравнение логарифмов

Сравнить log₁⁄₃(2x − 1) и log₁⁄₃ 5 при допустимых значениях x. Одинаковое основание позволяет сравнивать аргументы, но сначала необходимо выяснить, когда оба логарифма существуют. Основание ⅓ лежит между нулём и единицей, значит, функция убывает. Поэтому при сравнении аргументов знак неравенства изменится на противоположный.

1. Найдём допустимые значения: 2x − 1 > 0, откуда x > ½. Второй аргумент равен 5 и положителен всегда. Следовательно, достаточно указанного ограничения на x.
2. Для убывающей функции сравнение логарифмов переводится в обратное сравнение аргументов: log₁⁄₃(2x − 1) > log₁⁄₃ 5 тогда и только тогда, когда 2x − 1 < 5. Смена знака возникает из-за убывания функции. Решая неравенство, получаем x < 3.
3. Объединим результат с областью допустимых значений: ½ < x < 3. Для меньшего, чем log₁⁄₃ 5, значения аргумента нужно, наоборот, взять 2x − 1 > 5, что даёт x > 3. При x = 3 логарифмы равны.

Ответ: log₁⁄₃(2x − 1) > log₁⁄₃ 5 при ½ < x < 3; равенство выполняется при x = 3, а обратное неравенство — при x > 3. Проверка области допустимых значений обязательна во всех трёх случаях. Если основание меньше единицы, знак при сравнении аргументов меняется.

Типичные ошибки

• Недопустимое основание: иногда берут a = 1 или a ≤ 0, потому что помнят только требование «основание не равно нулю». Но при a = 1 все степени равны единице, а отрицательное основание не задаёт степени для всех действительных показателей. Проверяйте оба условия: a > 0 и a ≠ 1.

• Неправильный аргумент: допускают x = 0 или отрицательное x, считая, что ограничение относится только к основанию. На самом деле логарифм определён лишь для положительного аргумента. Перед решением выпишите условие x > 0 или, если аргумент сложный, потребуйте положительности всего выражения.

• Перепутанная монотонность: функция с основанием больше единицы иногда считается убывающей, а с основанием между нулём и единицей — возрастающей. Ошибка возникает, когда не проверяют поведение степеней основания. Сверьте результат с правилом: a > 1 — возрастание, 0 < a < 1 — убывание.

• Сохранение знака при сравнении логарифмов с основанием 0 < a < 1 приводит к неверному ответу. Так происходит, если основание воспринимают как обычное число и забывают об убывании функции. Перед сравнением аргументов определите монотонность; убывающая функция меняет знак неравенства на противоположный.

Связь с другими темами

Для понимания логарифмической функции нужны определение степени с действительным показателем и свойства показательной функции. Логарифмическая функция обратна показательной, поэтому их графики связаны симметрией, а равенство логарифма удобно заменять равенством степеней. Эта связь используется при решении показательных и логарифмических уравнений. Далее свойства функции помогают исследовать логарифмические уравнения и неравенства, находить допустимые значения и анализировать графики.

Что запомнить

• y = logₐ x определена при a > 0, a ≠ 1 и x > 0.
• Множество значений логарифмической функции — ℝ.
• График проходит через точку (1; 0).
• При a > 1 функция возрастает.
• При 0 < a < 1 функция убывает.
• Ось Oy — вертикальная асимптота.
• Графики y = logₐ x и y = aˣ симметричны относительно y = x.

Как это устроено

Сравните графики при основании больше единицы и при основании между нулём и единицей: первый возрастает, второй убывает. Оба проходят через (1; 0) и имеют общую вертикальную асимптоту x = 0.