"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Десятичный и натуральный логарифмы — это логарифмы с основаниями 10 и e, где e ≈ 2,718. Они удобны для вычислений, описания роста и решения уравнений. Если калькулятор не поддерживает нужное основание, помогает формула перехода: логарифм можно выразить через логарифмы с другим основанием. Главное — следить, чтобы аргумент был положительным, а основание — положительным и не равным единице.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмом положительного числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = x тогда и только тогда, когда aˣ = b. Здесь a — основание, b — аргумент логарифма, а x — его значение. Основание должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — положительным: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Это определение переводит задачу о логарифме в вопрос о степени и помогает проверять вычисления обратным действием.
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, его обозначают lg x: lg x = log₁₀ x. Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, его записывают ln x = logₑ x, где e — иррациональное число, приблизительно равное 2,718. Эти обозначения сокращают запись, когда основание равно 10 или e; в частности, lg 100 = 2, потому что 10² = 100, а ln e = 1, потому что e¹ = e.
Запись logₐ b отвечает на вопрос «в какую степень возвести a, чтобы получить b?». Например, log₂ 8 = 3, поскольку 2³ = 8. Ограничения на основание следуют из поведения степени: при a = 1 любая степень даёт 1, поэтому нельзя однозначно получить разные значения логарифма; отрицательное основание не подходит для общего определения вещественной показательной функции. Аргумент не может быть нулём или отрицательным, потому что положительное основание в вещественной степени даёт положительный результат.
Формула перехода к новому основанию имеет вид logₐ b = log_c b / log_c a. Она получается из равенства aˣ = b: если взять логарифм обеих частей по основанию c, то log_c(aˣ) = log_c b, а свойство степени даёт x · log_c a = log_c b. Выразив x, получаем формулу; знаменатель не равен нулю, потому что a ≠ 1. Для перехода допустимы c > 0 и c ≠ 1, а аргумент b также должен быть положительным.
На практике чаще всего выбирают основание 10 или e, так как значения lg и ln можно найти на калькуляторе. Поэтому logₐ b = lg b / lg a = ln b / ln a. Основание перехода можно выбирать любое допустимое, но числитель и знаменатель должны иметь одно и то же основание логарифма. Например, для log₂ 7 можно разделить lg 7 на lg 2; порядок важен, поскольку перестановка дроби обычно даёт другое число.
| Запись | Основание | Формула перехода | Пример |
|---|---|---|---|
| lg x | 10 | lg x = logₑ x / logₑ 10 | lg 100 = 2 |
| ln x | e | ln x = log₁₀ x / log₁₀ e | ln e = 1 |
| logₐ b | a | logₐ b = lg b / lg a | log₂ 8 = 3 |
В таблице сначала определите основание исходного логарифма, затем выберите удобную запись для вычисления. При переходе проверьте, что в дроби сверху стоит логарифм аргумента, а снизу — логарифм исходного основания.
Вычислим log₂ 7 с помощью десятичных логарифмов и округлим результат до сотых. Напрямую представить 7 как целую степень двойки нельзя, поэтому используем формулу перехода к основанию 10. Поскольку 2 и 7 положительны, а основание 2 не равно единице, логарифм определён и формулу применять можно.
Ответ: log₂ 7 ≈ 2,81. Значение не обязано быть целым: оно показывает, что число 2, возведённое примерно в степень 2,81, равно 7. При округлении промежуточных значений стоит сохранять несколько знаков после запятой, иначе итог может заметно измениться.
Ошибка — поменять местами числитель и знаменатель: записать logₐ b = lg a / lg b. Так делают, когда запоминают формулу только по виду дроби, не связывая её с определением. Проверка: подставьте простой пример log₂ 8; правильная запись даёт lg 8 / lg 2 = 3, а перевёрнутая — 1/3, что не согласуется с равенством 2³ = 8.
Другая ошибка — забыть ограничения и применять логарифм к неположительному аргументу или взять недопустимое основание. Это происходит, если формулу перехода считают верной без условий. Перед вычислением проверьте: аргумент больше нуля, исходное основание положительно и не равно 1, основание перехода тоже положительно и не равно 1; затем убедитесь, что знаменатель формулы не равен нулю.
Логарифм — обратная операция к возведению в степень: равенство logₐ b = x равносильно aˣ = b. Поэтому логарифмы помогают находить неизвестный показатель в показательных уравнениях, например преобразовать уравнение 2ˣ = 7 к записи x = log₂ 7. Свойства логарифмов также связаны со свойствами степеней: логарифм произведения превращает умножение в сложение.
Десятичный и натуральный логарифмы применяют в вычислениях и моделях, где величина быстро растёт или убывает. Формула перехода позволяет использовать функции калькулятора даже тогда, когда нужное основание напрямую не поддерживается. При этом сначала проверяют область допустимых значений, а затем выбирают удобное основание для вычисления.
§ 3. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода
