"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести заданное основание, чтобы получить число. Свойства логарифмов позволяют превращать произведение в сумму, частное — в разность, а степень и корень — в множитель перед логарифмом. Благодаря этим правилам сложные выражения упрощаются, а вычисления и решение логарифмических уравнений становятся удобнее. Для применения формул нужно соблюдать ограничения на основание и аргументы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа — показатель степени, в которую нужно возвести положительное основание, чтобы получить аргумент: logab = x означает aˣ = b. Он отвечает на вопрос, какая степень превращает a в b. Это определение помогает заменять логарифмическую запись показательной.
Основание логарифма — число a под знаком log, причём a > 0 и a ≠ 1. Оно задаёт, какие степени сравниваются и как изменяется логарифмическая шкала. Без указания допустимого основания выражение нельзя считать корректным.
Аргумент логарифма — число или выражение под знаком логарифма, например b в logab. Аргумент обязательно должен быть положительным, поэтому для выражений с переменными приходится находить область допустимых значений. Это условие отсеивает значения, при которых логарифм не существует.
Переход к новому основанию — преобразование logab = logcb / logca. Здесь c — новое основание, также положительное и не равное 1. Формула нужна, когда логарифмы по исходному основанию трудно вычислить напрямую.
Пусть logax = m и logay = n. Тогда x = aᵐ и y = aⁿ, поэтому xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Показатель степени произведения равен m + n, значит loga(xy) = logax + logay.
Для частного используем те же обозначения: x/y = aᵐ/aⁿ. По правилу деления степеней это выражение равно aᵐ⁻ⁿ. Поэтому показатель результата получается вычитанием, и loga(x/y) = logax − logay. Здесь x и y должны быть положительными.
Если аргумент равен степени: xⁿ = (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. При возведении степени в степень показатели перемножаются, поэтому loga(xⁿ) = n logax. Для действительного n это правило обычно записывают при x > 0, чтобы выражение xⁿ было однозначным в рассматриваемой области.
Корень можно представить как дробную степень: √[n]x = x¹⁄ⁿ. Поэтому логарифм корня равен loga√[n]x = ½? Нет: общий множитель равен 1/n, то есть loga√[n]x = (1/n)logax. При чётном n дополнительно требуется x ≥ 0 для самого корня, а для логарифма подкоренное выражение должно дать положительный результат.
Чтобы получить переход к новому основанию, положим logab = x, то есть aˣ = b. Возьмём логарифм по основанию c: logc(aˣ) = logcb. По свойству степени левая часть равна x logca, откуда x = logcb / logca. Во всех формулах a и c положительны и не равны 1, а аргументы логарифмов положительны.
| Свойство | Условия | Формула |
|---|---|---|
| Логарифм произведения | x > 0, y > 0; a > 0, a ≠ 1 | loga(xy) = logax + logay |
| Логарифм частного | x > 0, y > 0; a > 0, a ≠ 1 | loga(x/y) = logax − logay |
| Логарифм степени | x > 0; a > 0, a ≠ 1 | loga(xⁿ) = n logax |
| Логарифм корня | x > 0, n ≠ 0; a > 0, a ≠ 1 | loga√[n]x = (1/n)logax |
| Переход к новому основанию | a > 0, a ≠ 1; c > 0, c ≠ 1; x > 0 | logax = logcx / logca |
| Логарифм единицы и основания | a > 0, a ≠ 1 | loga1 = 0; logaa = 1 |
Сначала определите вид выражения: произведение, частное, степень или корень. Затем проверьте условия и примените соответствующую строку таблицы.
Если в выражении есть несколько действий, раскрывайте его последовательно, не забывая сохранять скобки и знаки.
Условие: вычислить log2(8 · 4), используя свойство логарифма произведения.
Ответ: 5. То же число получается напрямую: 8 · 4 = 32, а log232 = 5.
Условие: раскрыть log3((x²√y)/z) и указать ОДЗ.
Ответ: 2log3x + ½log3y − log3z; ОДЗ: x > 0, y > 0, z > 0.
Условие: вычислить log612 через логарифмы по основанию 2, затем найти log612 + log618.
Ответ: log612 = (log23 + 2)/(log23 + 1); сумма равна 3.
Замена суммы аргументов. Ошибка loga(x + y) = logax + logay возникает из-за переноса правила произведения на сумму. Проверяйте вид выражения: формула сложения логарифмов относится к xy, а не к x + y.
Нарушение условий. Иногда считают допустимыми нулевой или отрицательный аргумент, а основание берут равным 1. Перед преобразованием выпишите a > 0, a ≠ 1 и каждый аргумент > 0.
Неверное вынесение степени. Запись loga(xⁿ) = logax + n неверна: показатель является множителем. Для проверки подставьте простые значения, например log2(2³) = 3, а не 4.
Непроверенный переход к новому основанию. В знаменателе формулы может оказаться логарифм по недопустимому основанию. Убедитесь, что новое основание c > 0 и c ≠ 1, а logca не равен нулю.
До изучения свойств логарифмов нужны определение логарифма, свойства степеней и правила действий со степенями. Логарифмические преобразования применяются при упрощении выражений, а также при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Переход к новому основанию связывает разные логарифмические шкалы. Он удобен при сравнении логарифмов и при вычислениях на калькуляторе, где обычно доступны только десятичный и натуральный логарифмы.
Можно ли раскладывать логарифм суммы на сумму логарифмов?
Нет, формулы logₐ(x + y) = logₐx + logₐy не существует. Свойство суммы логарифмов соответствует произведению: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.
Почему аргумент логарифма обязательно должен быть положительным?
Степень положительного основания всегда положительна, поэтому отрицательное или нулевое число нельзя получить как её результат. Значит, выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля.
Как выбрать новое основание при вычислении логарифма?
Выбирают основание, при котором проще найти логарифмы аргумента и исходного основания. Например, для log₆12 удобно перейти к основанию 2, потому что 6 = 2 · 3 и 12 = 2² · 3, либо использовать калькулятор.
Можно ли применять свойства логарифмов к выражениям с переменными?
Да, но сначала нужно записать область допустимых значений. Все аргументы отдельных логарифмов должны быть положительными, а основание — положительным и отличным от 1.
Чем отличаются формулы для логарифма произведения, частного и степени?
Произведение превращается в сумму логарифмов, частное — в их разность, а показатель степени выносится множителем. Эти правила следуют из законов действий со степенями одного основания.
§ 2. Свойства логарифмов
