"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести заданное основание, чтобы получить число. Свойства логарифмов связывают действия с числами и действия с их логарифмами: произведению соответствует сумма, частному — разность, степени — умножение на показатель. Эти правила помогают упрощать выражения, решать уравнения и выбирать удобное основание для вычислений. При этом необходимо соблюдать условия существования логарифма.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм — показатель степени, в которую нужно возвести положительное основание, чтобы получить заданное положительное число. Запись logₐ x = r означает равенство aʳ = x. Логарифм позволяет заменить вопрос о результате степени вопросом о её показателе.
Основание логарифма — число a, для которого выполняются условия a > 0 и a ≠ 1. Первое условие связано с положительностью степеней, а второе обеспечивает единственность показателя. Без этих ограничений запись логарифма не имела бы обычного смысла.
Логарифм произведения — свойство, выражающее логарифм произведения через сумму логарифмов множителей: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Оно нужно, чтобы разбирать сложный аргумент на более простые части. Обратное применение свойства позволяет объединять сумму логарифмов.
Переход к новому основанию — формула выражения логарифма через логарифмы с другим удобным основанием. Она записывается так: logₐ x = log_b x / log_b a. Благодаря ей можно выбрать основание, доступное на калькуляторе или удобное для вычислений.
Основание логарифма должно быть положительным, потому что при действительном показателе степени положительного числа результат остаётся положительным. Основание 1 исключают: 1ʳ всегда равно 1, поэтому показатель нельзя восстановить по другому значению. Аргумент также положителен, ведь степень допустимого основания не даёт нуля или отрицательного числа.
Пусть logₐ x = m и logₐ y = n. Тогда x = aᵐ, а y = aⁿ, поэтому xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Показатель, соответствующий произведению, равен m + n, откуда logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Условие x > 0 и y > 0 одновременно гарантирует смысл всех записей.
Для частного используются степени aᵐ и aⁿ: x/y = aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Поэтому logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. Если аргумент имеет вид xʳ, то x = aᵐ даёт xʳ = (aᵐ)ʳ = aᵐʳ, значит logₐ(xʳ) = r logₐ x.
Чтобы получить переход к новому основанию, положим logₐ x = r, то есть aʳ = x. Если b — другое допустимое основание, то log_b x = log_b(aʳ) = r log_b a. Делением на log_b a получаем logₐ x = log_b x / log_b a. Формула удобна, когда калькулятор вычисляет только десятичные или натуральные логарифмы.
Равенство logₐ 1 = 0 следует из a⁰ = 1. Равенство logₐ a = 1 следует из a¹ = a. Поэтому при преобразованиях произведения, частного или степени такие части можно сразу заменить нулём или единицей.
| Свойство | Условия | Формула | Что позволяет делать |
|---|---|---|---|
| Логарифм произведения | a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | Разложить логарифм произведения на сумму |
| Логарифм частного | a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | Заменить логарифм частного разностью |
| Логарифм степени | a > 0, a ≠ 1, x > 0, r — действительное число | logₐ(xʳ) = r logₐ x | Вынести показатель степени за знак логарифма |
| Логарифм единицы | a > 0, a ≠ 1 | logₐ 1 = 0 | Упростить логарифм единицы |
| Логарифм основания | a > 0, a ≠ 1 | logₐ a = 1 | Упростить логарифм основания |
| Переход к новому основанию | a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0 | logₐ x = log_b x / log_b a | Вычислять логарифмы на калькуляторе или выбирать удобное основание |
Сначала проверьте условия, затем выберите свойство по виду аргумента: произведение, частное или степень. При обратном преобразовании следите за знаками: сумма объединяется в произведение, а разность — в частное. Формулу перехода применяйте, если новое основание допустимо и действительно упрощает вычисления.
Упростить выражение log₂(8x³/y) при x > 0 и y > 0. Все аргументы положительны, поэтому свойства логарифмов применимы. Нужно последовательно отделить произведение, частное и степень.
Ответ: 3 + 3log₂ x − log₂ y. Такой вид удобен, потому что числовая часть уже вычислена.
Вычислить log₄ 32 − log₄ 2. Одинаковое основание позволяет объединить разность в один логарифм. После этого удобно представить числа степенями четвёрки.
Ответ: 2. Объединение логарифмов уменьшило количество действий и сразу выявило степень основания.
Решить уравнение log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 2. Сначала аргументы должны быть положительными: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, значит x > 1. Только после этого можно объединять логарифмы.
Подходит только x = √10. Ответ: x = √10.
Ошибка: logₐ(xy) заменяют на logₐ x · logₐ y. Её допускают, путая свойства логарифмов со свойствами степеней; произведению соответствует сумма, а не умножение. Для проверки восстановите определения x = aᵐ и y = aⁿ.
Ошибка: записывают logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y. У логарифма нет свойства разложения суммы аргументов, поэтому сначала нельзя превращать такую запись в сумму. Проверьте вид аргумента: формула относится к произведению, а не к сложению.
Ошибка: забывают ОДЗ и ограничения для основания. Тогда появляются посторонние корни или формула применяется там, где логарифм не определён. Перед решением выпишите a > 0, a ≠ 1 и положительность каждого аргумента.
Ошибка: в формуле перехода меняют местами числитель и знаменатель. Правильно: logₐ x = log_b x / log_b a, где сверху стоит логарифм аргумента, а снизу — логарифм исходного основания. Проверить запись можно подстановкой x = a: результат должен быть равен 1.
До изучения свойств нужны определение логарифма, свойства степеней и правила действий с положительными числами. Без них трудно понять происхождение формул и проверить допустимость преобразований.
Свойства логарифмов применяются при преобразовании выражений, а также при решении логарифмических уравнений и неравенств. ОДЗ и монотонность логарифмической функции помогают отбирать допустимые ответы.
Переход к новому основанию связывает произвольные логарифмы с десятичными и натуральными. Поэтому он используется при вычислениях на калькуляторе и в последующих задачах с функциями.
Почему нельзя брать логарифм от нуля или отрицательного числа?
Степень положительного числа всегда положительна, поэтому она не может быть равна нулю или отрицательному числу. Следовательно, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
Можно ли раскладывать логарифм суммы на сумму логарифмов?
Нет, общего свойства logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y не существует. Сумма логарифмов объединяется в логарифм произведения: logₐ x + logₐ y = logₐ(xy).
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
Любая степень единицы равна единице: 1ʳ = 1. Поэтому при основании 1 нельзя получить разные положительные значения и однозначно определить показатель степени.
Как понять, какое основание выбрать при вычислении логарифма?
Выбирайте основание, при котором аргумент и само основание удобно представить степенями. Для калькулятора обычно используют основание 10 или число e, применяя формулу перехода к новому основанию.
Зачем проверять область допустимых значений при решении логарифмического уравнения?
Формулы логарифмов применимы только при положительных аргументах. Проверка ОДЗ отбрасывает значения, при которых исходное уравнение не имеет смысла и которые могли появиться после преобразований.
11. Свойства логарифмов
