"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Свойства логарифмов помогают преобразовывать выражения и решать уравнения: произведение внутри логарифма превращается в сумму, частное — в разность, а показатель степени выносится перед логарифмом. Эти правила следуют из свойств степеней, но применять их можно только при допустимом основании и положительных аргументах. Ещё одна полезная формула позволяет заменить основание логарифма и упрощает вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм произведения — правило, по которому логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Здесь a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0. Это правило позволяет заменить один логарифм несколькими более простыми.
Логарифм частного — правило представления логарифма частного положительных чисел как разности логарифмов делимого и делителя: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. Основание a должно быть положительным и не равняться единице, а x и y — положительными. Формула удобна, когда нужно разделить сложное выражение под логарифмом на части.
Логарифм степени — правило, позволяющее вынести показатель степени перед знаком логарифма: logₐ(xʳ) = r logₐ x при x > 0. Основание логарифма a положительно и отлично от 1. Это преобразование упрощает вычисления, когда аргумент содержит степень.
Переход к новому основанию — формула, выражающая логарифм через логарифмы с другим основанием: logₐ b = log_c b / log_c a. Здесь a, b, c > 0, a ≠ 1, c ≠ 1 и c ≠ a. Она нужна, когда исходное основание неудобно для вычисления или сравнения логарифмов.
Пусть logₐ x = m, а logₐ y = n. По определению логарифма x = aᵐ и y = aⁿ, поэтому xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Значит, показатель степени, дающий произведение xy, равен m + n, то есть logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Именно свойство умножения степеней объясняет, почему произведение превращается в сумму.
Для частного рассуждение похожее, только используется деление степеней: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если x = aᵐ и y = aⁿ, то x/y = aᵐ⁻ⁿ, а значит logₐ(x/y) = m − n. Поэтому логарифм частного равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя. Порядок вычитания нельзя менять: он соответствует порядку делимого и делителя.
Если x = aᵐ, то xʳ = (aᵐ)ʳ = aᵐʳ. При возведении степени в степень показатели перемножаются, поэтому логарифм xʳ равен mr, то есть r logₐ x. Так показатель степени оказывается множителем перед логарифмом. Для действительных степеней в этой формуле требуется x > 0, чтобы степень и логарифм были определены.
Все правила требуют допустимых значений: основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице, а каждый аргумент — быть строго положительным. Иначе логарифм не определён в действительных числах, поэтому преобразование исходного выражения не имеет смысла. Например, в logₐ(xy) проверяют, что xy > 0; чтобы применить правило к двум отдельным логарифмам, нужно, чтобы x > 0 и y > 0. В уравнениях ограничения записывают до преобразований, чтобы не получить посторонние корни.
Чтобы вывести переход к новому основанию, обозначим logₐ b через t, тогда aᵗ = b. Возьмём логарифм обеих частей по основанию c: t log_c a = log_c b, откуда t = log_c b / log_c a. Знаменатель не равен нулю, поскольку c ≠ a, поэтому формула применима при указанных допустимых основаниях. Она удобна для сравнения логарифмов и для вычислений на калькуляторе, если тот умеет находить логарифмы только по основаниям 10 или e.
| Свойство | Формула | Условия применимости | Что позволяет сделать |
|---|---|---|---|
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 | Раскрыть логарифм произведения |
| Логарифм частного | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 | Разделить логарифм частного на разность |
| Логарифм степени | logₐ(xʳ) = r logₐ x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 | Вынести показатель степени |
| Логарифм числа, обратного данному | logₐ(1/x) = −logₐ x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 | Заменить обратное число противоположным логарифмом |
| Переход к новому основанию | logₐ b = log_c b / log_c a | a, b, c > 0; a ≠ 1, c ≠ 1, c ≠ a | Выразить логарифм через удобное основание |
Сначала проверь условия в строке, соответствующей нужному преобразованию, и только потом применяй формулу. Для логарифма частного числитель остаётся первым, а знаменатель — вторым, поэтому знак разности определяется однозначно. Если нужно вычислить логарифм на калькуляторе, выбери для c основание, которое доступно в его функциях.
Задача 1. Раскрыть выражение logₐ(12x) при a > 0, a ≠ 1, x > 0. Нужно разделить аргумент на множители, логарифмы которых можно записать отдельно. Здесь 12x — произведение положительных чисел 12 и x, поэтому применимо свойство логарифма произведения.
Ответ: logₐ 12 + logₐ x. Число 12 можно разложить дальше, например на 3 · 4, если это нужно для следующих вычислений. Само раскрытие требует только свойства произведения и не меняет значение выражения.
Задача 2. Вычислить log₂48 − log₂3 + 2log₂4. Здесь есть разность логарифмов с одинаковым основанием и отдельный множитель перед логарифмом. Сначала удобно объединить первые два слагаемых, а затем преобразовать третий член и собрать всё в один логарифм.
Ответ: 8. Аргументы 48, 3 и 4 положительны, поэтому преобразования допустимы. При объединении логарифмов важно сохранить знак минус между первыми членами: он задаёт частное 48/3.
Задача 3. Решить уравнение log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 2. До объединения логарифмов найдём область допустимых значений: оба аргумента должны быть положительными. Затем сведём левую часть к одному логарифму и воспользуемся определением логарифма.
Ответ: x = √10. Проверка по ОДЗ обязательна: преобразование уравнения может дать значения, при которых исходные логарифмы не определены. Число √10 больше 1, поэтому оба аргумента исходного уравнения положительны.
Ошибка — записать logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y. Такое правило относится к произведению, потому что оно выводится из умножения степеней, а сложение чисел так не преобразуется. Путаница возникает из-за похожих слов «сумма» и «произведение» в формулах. Проверка: подставь x = y = 1 и сравни обе части — они, вообще говоря, не равны.
Иногда применяют свойство, не проверив, что аргумент каждого логарифма положителен, или забывают условие a > 0, a ≠ 1. Тогда можно получить выражение, не имеющее смысла в действительных числах. Ошибка часто появляется, когда условия считают очевидными и пропускают ОДЗ. Перед преобразованием выпиши ограничения для основания и каждого аргумента.
Неверно считать, что logₐ(xʳ) = (logₐ x)ʳ: показатель степени не возводит логарифм в степень, а выносится множителем. Такое заблуждение возникает из-за механического переноса показателя без обращения к определению. Проверь результат на x = a: слева получится logₐ(aʳ) = r, а правильная формула справа тоже даёт r.
При логарифме частного можно потерять минус или поменять порядок: logₐ(x/y) — это logₐ x − logₐ y, а не наоборот. Причина в том, что при делении степеней вычитают показатель знаменателя из показателя числителя. Для самопроверки запиши частное как x · 1/y и используй логарифм произведения: второй член станет logₐ(1/y) = −logₐ y.
Для работы со свойствами нужно знать определение логарифма, правила действий со степенями и условия допустимости основания и аргумента. Эти связи объясняют, откуда берутся формулы произведения, частного и степени, а не только позволяют запомнить их. В дальнейшем свойства используют для упрощения выражений, вычисления логарифмов и решения логарифмических уравнений и неравенств. Переход к новому основанию помогает сравнивать логарифмы и находить их значения на калькуляторе.
Почему логарифм суммы нельзя разложить по аналогии с логарифмом произведения?
Свойство логарифма произведения следует из правила умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются. Для суммы такого правила степеней нет, поэтому logₐ(x + y) обычно не равен logₐ x + logₐ y. Например, log₂(1 + 1) = 1, а log₂1 + log₂1 = 0.
Можно ли применять свойства логарифмов, если аргумент равен нулю или отрицателен?
В школьной алгебре логарифм действительного числа определён только при положительном аргументе. Поэтому ноль и отрицательные числа под знаком логарифма недопустимы, и сначала нужно проверить область допустимых значений.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
При основании 1 значение 1ⁿ равно 1 при любом показателе n. Поэтому равенство 1ⁿ = b не позволяет однозначно определить показатель, а логарифм с таким основанием не определён.
Как не перепутать формулы логарифма произведения и частного?
Умножение превращается в сложение: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Деление превращается в вычитание: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y, причём порядок соответствует числителю и знаменателю.
Когда удобнее использовать переход к новому основанию?
Он полезен, когда логарифмы нужно сравнить, вычислить на калькуляторе или выразить через логарифмы с более удобным основанием. Например, калькулятор может не иметь кнопки log₃, зато можно найти log₁₀3 и log₁₀b и вычислить их отношение.
§ 43. Свойства логарифмов
