"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Логарифмическая функция y = logₐ x обратна показательной функции y = aˣ: они меняются ролями аргумента и значения. Её основание должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — строго положительным. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает; в обоих случаях её график проходит через (1; 0), а значения могут быть любыми действительными числами. Эти свойства помогают строить графики и решать логарифмические уравнения и неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическая функция y = logₐ x — это функция, обратная показательной функции y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Запись logₐ x читают «логарифм x по основанию a». Она показывает, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x. Такое определение позволяет связывать логарифмы со степенями и решать уравнения с неизвестным показателем.
Основание логарифма — число a в записи logₐ x. Оно должно быть положительным, потому что рассматриваемая показательная функция определена при положительном основании; единица исключается, поскольку 1 в любой степени равно 1. При a > 1 показательная функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. От основания зависят направление изменения логарифмической функции и знаки её значений.
Область определения — это все допустимые значения аргумента x, а множество значений — все возможные значения функции y. Для y = logₐ x область определения задаётся условием x > 0, а множество значений составляют все действительные числа. Условие на x нужно проверять до вычислений, особенно при решении уравнений и неравенств. Значение логарифма при этом может быть положительным, отрицательным или нулём.
График логарифмической функции связан с графиком показательной функции y = aˣ как график обратной функции. При переходе к обратной функции аргумент и значение меняются местами, поэтому графики симметричны относительно прямой y = x. Это помогает находить характерные точки и представлять форму графика без вычисления множества значений. По тем же точкам можно проверить, правильно ли выполнено построение.
Из определения логарифма следует равносильная запись y = logₐ x ⇔ x = aʸ. Справа стоит степень с положительным основанием, а её значение при любом действительном показателе строго положительно. Значит, равенство невозможно, если x ≤ 0, и область определения — только положительные числа. При этом показатель y может быть любым действительным числом, поэтому функция принимает все действительные значения.
Обратные функции меняются координатами: если точка (u; v) лежит на графике y = aˣ, то точка (v; u) лежит на графике y = logₐ x. Такая перестановка координат отражает график относительно прямой y = x. Например, у показательной функции есть точки (0; 1) и (1; a), поэтому на логарифмическом графике им соответствуют (1; 0) и (a; 1). Первая точка показывает, что логарифм единицы равен нулю, а вторая — что логарифм основания равен единице.
При a > 1 увеличение x приводит к увеличению logₐ x: это следует из возрастания показательной функции и перехода к обратной. При 0 < a < 1 степени основания уменьшаются при увеличении показателя, поэтому обратная функция также убывает. Например, для основания ½ при большем x значение логарифма оказывается меньше. Так можно определить монотонность по основанию, не подбирая точки графика.
На положительной части оси x логарифмическая функция непрерывна: её график не имеет разрывов. При x = 1 значение равно нулю, а при приближении x к нулю справа модуль логарифма неограниченно растёт. Поэтому прямая x = 0 служит вертикальной асимптотой: график приближается к ней, но не пересекает её. Для a > 1 функция стремится к −∞ при x → 0+ и к +∞ при x → +∞; при 0 < a < 1 направления меняются.
Знак функции определяется тем, с каким числом сравнивается аргумент: с единицей. Если a > 1, логарифм положителен при x > 1 и отрицателен при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, убывание функции меняет знаки местами: при 0 < x < 1 логарифм положителен, а при x > 1 — отрицателен. В точке x = 1 значение всегда равно нулю.
| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Область определения | x > 0 | x > 0 |
| Множество значений | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Монотонность | Возрастает | Убывает |
| Точка пересечения с осью Ox | (1; 0) | (1; 0) |
| Знак при 0 < x < 1 | Отрицательный | Положительный |
| Знак при x > 1 | Положительный | Отрицательный |
| Вертикальная асимптота | x = 0 | x = 0 |
| Поведение при x → 0+ и x → +∞ | −∞ и +∞ | +∞ и −∞ |
Сначала проверьте, к какому случаю относится основание, затем используйте соответствующий столбец. Строки об области определения и асимптоте помогают определить, где можно строить график, а строки о знаке и монотонности — сравнивать значения функции. Поведение на концах уточняет направление ветвей графика.
Задача 1. Для функции y = log₂ x укажите область определения, множество значений, монотонность и точки графика, соответствующие x = 1 и x = 2. Здесь основание 2 больше единицы, значит, применяем свойства возрастающей логарифмической функции. Чтобы найти значения в заданных точках, используем определение логарифма как показателя степени.
Ответ: область определения x > 0; множество значений — ℝ; функция возрастает; точки (1; 0) и (2; 1). Найденные точки согласуются с общими свойствами: (1; 0) есть на любом логарифмическом графике, а (a; 1) в данном случае — (2; 1). По ним уже можно наметить возрастающую ветвь справа от вертикальной асимптоты x = 0.
Задача 2. Постройте график y = log₁⁄₂ x и сравните его с графиком y = log₂ x. Важно не переносить на первое основание свойства второго: число ½ лежит между нулём и единицей, поэтому функция убывает. Для построения достаточно выбрать удобные положительные аргументы и вычислить значения по определению логарифма.
Ответ: график y = log₁⁄₂ x проходит через (1; 0), (½; 1) и (2; −1), убывает и является отражением графика y = log₂ x относительно оси Ox. Проверить построение можно по знакам: между 0 и 1 значения положительны, а при x > 1 отрицательны. Оба графика имеют асимптоту x = 0.
Задача 3. Решите неравенство log₁⁄₃(x − 1) > 0. Сначала нужно найти область допустимых значений: выражение внутри логарифма должно быть строго положительным. Затем учитываем, что основание ⅓ меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывает и при переходе к аргументам знак неравенства меняется.
Ответ: 1 < x < 2. В задаче понадобились оба условия: допустимые значения аргумента и убывание функции. Если забыть сменить знак при сравнении аргументов, получится неверный промежуток.
Ошибка: указывают x ≠ 0 вместо x > 0. Так происходит, когда правило ошибочно переносят с дроби, где нельзя делить на ноль, на логарифм. Но отрицательные значения тоже недопустимы: при положительном основании степень не может дать отрицательный результат. Проверка: подставьте отрицательный x в равенство x = aʸ — действительного y не найдётся.
Ошибка: считают допустимым основание a = 1 или отрицательное основание. Иногда основание воспринимают как любое число, стоящее внизу записи, не проверяя определение показательной функции. При a = 1 степени не различаются, а отрицательное основание не задаёт показательные значения для всех действительных показателей. Перед вычислениями проверьте условия a > 0 и a ≠ 1.
Ошибка: считают логарифмическую функцию возрастающей при любом основании. Это возникает, если запоминают только график при a > 1 и переносят его на все случаи. При 0 < a < 1 функция убывает, что следует из поведения показательной функции. Проверка: сравните значения в точках x = ½ и x = 2 для основания ½.
Ошибка: при основании 0 < a < 1 не меняют знак неравенства при сравнении аргументов. Причина — применение правила для возрастающей функции к убывающей. При переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов направление меняется, потому что большему значению убывающей функции соответствует меньший аргумент. Проверяйте знак по монотонности основания и отдельно пересекайте результат с областью определения.
Перед изучением логарифмической функции полезно знать определение логарифма и свойства показательной функции y = aˣ. Именно из равенства x = aʸ выводятся область определения, множество значений и связь графиков. Понимание этой обратной связи затем помогает решать логарифмические уравнения и неравенства: можно переходить от логарифмической записи к степенной, не забывая об области допустимых значений.
Графики логарифмических функций пригодятся при исследовании более сложных функций, составленных из нескольких выражений. Пересечения графиков помогают наглядно находить решения уравнений, а монотонность и асимптота уточняют поведение кривой. Поэтому свойства этой функции связывают вычисления с графическим способом решения задач.
Почему аргумент логарифма должен быть положительным?
Логарифм logₐ x — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x. При a > 0 значение aʸ положительно при любом действительном y, поэтому отрицательное число и ноль логарифмом получить нельзя.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
Если a = 1, то 1ʸ = 1 при любом y. Поэтому по значению x = 1 нельзя определить единственный показатель степени, а обратная функция не получится.
Как определить, возрастает или убывает логарифмическая функция?
Посмотрите на основание: при a > 1 функция y = logₐ x возрастает. Если 0 < a < 1, она убывает.
Через какие точки всегда проходит график логарифмической функции?
Для любого допустимого основания график проходит через точку (1; 0), потому что logₐ 1 = 0. Точка (a; 1) тоже принадлежит графику, поскольку logₐ a = 1.
Как связаны графики логарифмической и показательной функций?
Функции y = logₐ x и y = aˣ обратны друг другу. Поэтому их графики симметричны относительно прямой y = x: координаты соответствующих точек меняются местами.
§ 42. Функция у = log ax ее свойства и график
