"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Логарифмическое уравнение — это уравнение, где неизвестная находится в аргументе или основании логарифма. Такие уравнения решают, используя определение логарифма, свойства логарифмов и подходящие алгебраические преобразования. Начинают с области допустимых значений: аргументы должны быть положительными, а основания — положительными и не равными единице. После решения обязательно проверяют, подходят ли найденные корни исходному уравнению.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, в уравнении log₂(x − 1) = 3 неизвестная находится внутри аргумента. Это определение помогает сразу распознать тип уравнения и выбрать подходящие преобразования.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения неизвестной, при которых все логарифмы уравнения определены. Для каждого логарифма аргумент должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице. ОДЗ нужна, чтобы не рассматривать значения, при которых исходное выражение не существует.
Потенцирование — переход от равенства логарифма числу к равенству его аргумента соответствующей степени основания; например, logₐ f(x) = b переходит в f(x) = aᵇ. Основание при этом должно быть допустимым, а аргумент логарифма — положительным. Потенцирование связывает логарифмическую запись с более привычным уравнением.
Замена переменной — приём, при котором повторяющееся выражение обозначают новой переменной. Например, вместо нескольких одинаковых выражений log₂ x можно временно записать t. Замена упрощает вид уравнения, но после решения нужно убедиться, что найденное значение t соответствует допустимому значению исходного выражения.
ОДЗ находят до преобразований, потому что логарифм существует не при любых значениях своих частей. Аргумент должен быть строго больше нуля, а основание — положительным и отличным от единицы. Если сначала преобразовать уравнение, ограничения могут потеряться или возникнут значения, при которых исходное выражение не определено. Поэтому для каждого логарифма отдельно записывают условия и объединяют их.
Уравнение logₐ f(x) = b означает, что показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить f(x), равен b. По определению логарифма это равносильно f(x) = aᵇ, если a > 0 и a ≠ 1. Полученное уравнение решают обычными алгебраическими способами, однако найденные значения оставляют только при f(x) > 0. Это условие гарантирует, что логарифм из исходного уравнения действительно существует.
Если logₐ f(x) = logₐ g(x), обе части показывают, в какую степень нужно возвести одно и то же основание, чтобы получить соответствующий аргумент. При фиксированном допустимом основании разные аргументы дают разные значения логарифма, поэтому можно заключить, что f(x) = g(x). Если основания не совпадают, такого вывода делать нельзя: одинаковое значение логарифма при разных основаниях не требует равенства аргументов. Также необходимо сохранить условия f(x) > 0 и g(x) > 0.
Свойства логарифмов превращают сумму или разность логарифмов в один логарифм: при одинаковом основании logₐ f(x) + logₐ g(x) = logₐ(f(x)g(x)), а разность — в логарифм частного. Эти преобразования основаны на свойствах степеней, поэтому упрощают уравнение, не меняя его смысл там, где логарифмы определены. Положительность исходных аргументов всё равно нужно учитывать: она обеспечивает существование каждого логарифма до объединения. После преобразования сверяются с ОДЗ именно исходного уравнения.
Замена переменной удобна, если одинаковое выражение повторяется или входит в несколько степеней. Например, выражение log₂ x можно обозначить t, и уравнение с log₂ x и (log₂ x)² станет квадратным уравнением относительно t. Сначала решают его, затем возвращаются к исходной переменной, пользуясь определением введенной замены. Не каждое найденное t обязательно возможно: например, если t = log₂ x, то x = 2ᵗ всегда положительно, а ограничения исходного уравнения всё равно проверяются отдельно.
| Вид уравнения | Условия | Основной переход | Что проверить |
|---|---|---|---|
| logₐ f(x) = b | a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0 | f(x) = aᵇ | Принадлежность корней ОДЗ |
| logₐ f(x) = logₐ g(x) | a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0 | f(x) = g(x) | Положительность обоих аргументов |
| Уравнение с суммой или разностью логарифмов | Все аргументы положительны | Применение свойств логарифмов | ОДЗ исходного уравнения |
| Уравнение с повторяющимся выражением | ОДЗ исходного уравнения | Замена переменной | Допустимость обратной замены |
Сначала найди строку, похожую на данное уравнение, и выпиши условия применимости указанного перехода. Затем выполни преобразование и реши полученное уравнение привычным способом. В конце обязательно проверь корни по ОДЗ исходной записи.
Задача 1. Решить уравнение log₂(x − 1) = 3. Неизвестная находится в аргументе, поэтому сначала ограничим возможные значения x. Затем применим определение логарифма и проверим полученный ответ.
Записываем ОДЗ: x − 1 > 0, значит, x > 1. Это условие необходимо, потому что аргумент логарифма не может быть нулём или отрицательным.
По определению логарифма получаем x − 1 = 2³. Вычисляем степень: x − 1 = 8, откуда x = 9.
Проверяем ОДЗ: число 9 больше 1. Подстановка даёт log₂ 8 = 3, значит, найденное значение подходит исходному уравнению.
Ответ: 9.
Задача 2. Решить уравнение log₃(x + 1) = log₃(7 − x). Основания логарифмов одинаковы, поэтому после проверки аргументов их можно приравнять. Важно не пропустить ограничения сразу для обеих частей.
Записываем ОДЗ: x + 1 > 0 и 7 − x > 0. Следовательно, −1 < x < 7.
Так как основание 3 положительно и не равно 1, логарифм с этим основанием принимает разные значения при разных аргументах. Поэтому приравниваем аргументы: x + 1 = 7 − x.
Решаем линейное уравнение: 2x = 6, x = 3. Это число лежит между −1 и 7, а оба аргумента равны 4 и положительны.
Ответ: 3.
Задача 3. Решить уравнение log₂ x + log₂(x − 2) = 3. Здесь одинаковое основание позволяет объединить логарифмы, но сначала необходимо определить, когда каждый из них существует. После перехода к обычному уравнению возможны два корня, и не оба обязательно подойдут.
ОДЗ задаётся условиями x > 0 и x − 2 > 0. Их пересечение — x > 2.
Объединяем логарифмы по свойству суммы: log₂(x(x − 2)) = 3. По определению логарифма получаем x(x − 2) = 2³, то есть x² − 2x − 8 = 0.
Разложим квадратный трёхчлен: (x − 4)(x + 2) = 0. Возможные корни — x = 4 и x = −2.
Проверяем корни по условию x > 2: подходит 4, а −2 не принадлежит ОДЗ. Значит, в ответ включаем только допустимое значение.
Ответ: 4.
Первая ошибка — забыть, что аргумент логарифма должен быть положительным. Её допускают, когда сразу переходят к уравнению без записи ограничений; тогда среди корней может появиться постороннее значение. Проверяй себя так: для каждого аргумента отдельно составь неравенство и проверь по нему все ответы.
Вторая ошибка — приравнять аргументы логарифмов с разными основаниями. Такое рассуждение кажется естественным, если логарифмы записаны похожим образом, но равенство аргументов следует только при одинаковом допустимом основании. Перед переходом сравни основания и убедись, что каждое положительно и не равно единице.
Третья ошибка — считать, что основание логарифма может быть любым числом. На самом деле отрицательное основание и основание 1 не дают логарифм в обычном определении. Чтобы себя проверить, для каждого основания запиши два требования: a > 0 и a ≠ 1.
Четвёртая ошибка — применять свойства логарифмов, не проверив аргументы, или забыть об ограничениях после замены переменной. Это происходит, когда упрощение выглядит привычным и ОДЗ считают лишней формальностью. Сверяй преобразования с условиями для всех исходных логарифмов, а после замены выписывай, какие значения новой переменной вообще возможны.
Для решения логарифмических уравнений нужно знать определение логарифма, его свойства и условия существования. Ещё понадобятся умения решать линейные и квадратные уравнения, а также неравенства, которые возникают при поиске ОДЗ. Эти навыки помогают переводить логарифмическую запись в алгебраическую и отбирать допустимые ответы. Позже те же приёмы пригодятся при решении логарифмических неравенств и исследовании показательных и логарифмических функций.
Зачем находить ОДЗ до решения уравнения?
ОДЗ показывает, при каких значениях переменной логарифмы исходного уравнения определены. Если записать ограничения заранее, легче отсеять посторонние корни и не использовать недопустимые преобразования.
Можно ли сразу приравнивать аргументы логарифмов?
Можно, если логарифмы имеют одинаковое основание, оно положительно и не равно единице, а оба аргумента положительны. При разных основаниях равенство аргументов из равенства логарифмов не следует.
Что делать, если основания логарифмов разные?
Нельзя просто приравнять аргументы. Нужно применить подходящие свойства логарифмов или перейти к другому основанию, сохраняя условия существования всех логарифмов.
Почему после решения нужно проверять корни?
Преобразования могут привести к значениям, при которых логарифм исходного уравнения не определён. Проверка по исходной ОДЗ удаляет такие посторонние корни.
Когда удобно использовать замену переменной?
Замена полезна, когда одно и то же выражение повторяется в нескольких местах или входит в степени. Она превращает исходное уравнение в более простое, например квадратное, но найденные значения нужно проверить на возможность обратной замены.
§ 44. Логарифмические уравнения
