§ 19. Логарифмические уравнения

Определения и обозначения

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная входит в аргумент логарифма или является его основанием. Например, в log₂(x − 1) = 3 переменная находится в аргументе, а в logₓ 8 = 2 — в основании. Это определение помогает распознать такие уравнения и выбрать подходящий способ решения. В уравнении могут встречаться сразу несколько логарифмов.

ОДЗ логарифмического уравнения — множество значений переменной, при которых все логарифмы уравнения определены. Для каждого логарифма проверяют, что аргумент больше нуля, а основание больше нуля и не равно 1. ОДЗ нужно, чтобы не рассматривать значения, при которых выражение не имеет смысла. Её ограничения сохраняют на протяжении решения.

Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми множествами корней. При преобразовании логарифмического уравнения важно сохранять равносильность с учётом ОДЗ. Иначе можно получить лишние корни или потерять подходящие. Поэтому каждое преобразование должно быть обосновано, а найденные значения нужно сверять с исходными условиями.

Потенцирование — переход от равенства логарифмов к равенству их аргументов при одинаковом допустимом основании. Например, из logₐ f(x) = logₐ g(x) следует f(x) = g(x), если a > 0 и a ≠ 1. Этот приём позволяет убрать логарифмы и получить более простое уравнение. Условие положительности аргументов при этом остаётся обязательным.

Как это устроено

Перед решением находят ОДЗ, потому что логарифм определён не для любого числа. Его аргумент должен быть положительным: например, для log₂(x − 1) требуется x − 1 > 0. Основание также ограничено: оно должно быть положительным и отличным от 1, иначе логарифмическая функция не задаёт нужного соответствия. Если пропустить эти условия, дальнейшие преобразования могут включить значения, при которых исходная запись невозможна.

Уравнение logₐ f(x) = b решают, переходя к f(x) = aᵇ. Такой переход следует из определения логарифма: logₐ y = b означает, что a в степени b равно y. Основание должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1, а выражение f(x) — быть положительным. После решения уравнения f(x) = aᵇ найденные значения сравнивают с ОДЗ.

Если logₐ f(x) = logₐ g(x), можно приравнять аргументы: f(x) = g(x). Причина в том, что при a > 0 и a ≠ 1 логарифмическая функция принимает каждое своё значение только один раз. Поэтому одинаковые значения логарифма соответствуют одинаковым аргументам. Этот вывод работает только при одном и том же основании и при положительных аргументах обоих логарифмов.

Сумму логарифмов с одинаковым основанием объединяют по формуле logₐ u + logₐ v = logₐ(uv), а разность — по формуле logₐ u − logₐ v = logₐ(u/v). Свойства позволяют заменить несколько выражений одним логарифмом и упростить уравнение. Они основаны на правилах действий со степенями, поэтому требуют положительных аргументов u и v. Ограничения для исходных аргументов лучше записать до объединения.

Иногда после преобразований получается уравнение, у которого есть корни вне ОДЗ исходного. Это происходит потому, что алгебраическая запись после упрощения может допускать больше значений, чем исходные логарифмы. Например, квадратное уравнение решают целиком, но его корни затем проверяют в исходных ограничениях. Такая проверка отделяет допустимые решения от посторонних.

Основные приёмы решения логарифмических уравнений

Таблица показывает, какой переход выбрать в зависимости от вида уравнения. Сначала запишите ограничения ОДЗ, затем примените соответствующую строке формулу или замену. После решения проверьте, что каждый найденный корень удовлетворяет исходным условиям.

Разбор задач

Решите уравнение log₂(x − 1) = 3. Здесь логарифм равен числу, поэтому его можно заменить степенным равенством. Но сначала нужно учесть, что аргумент x − 1 должен быть положительным. Это ограничение позволит сразу проверить найденное значение.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
2. По определению логарифма получаем x − 1 = 2³.
3. Вычисляем: x − 1 = 8, откуда x = 9. Значение 9 удовлетворяет условию x > 1.

Ответ: x = 9.

Решите уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. Здесь сначала важно найти общие ограничения для двух аргументов. После этого сумму можно объединить в логарифм произведения, поскольку основания совпадают. Полученное уравнение решают и проверяют по исходной ОДЗ.

1. ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0; вместе это даёт x > 1.
2. Объединяем логарифмы: log₂((x − 1)(x + 1)) = 3.
3. Потенцируем: (x − 1)(x + 1) = 2³, то есть x² − 1 = 8.
4. Получаем x² = 9, откуда x = 3 или x = −3. По условию x > 1 подходит только 3.

Ответ: x = 3.

Решите уравнение log₂(x − 1) = log₂(3 − x) + 1. Правая часть содержит число 1, которое можно представить как log₂ 2, чтобы объединить логарифмы. До преобразований запишем ограничения обоих аргументов. После перехода к равенству аргументов проверим оба корня полученного уравнения.

1. ОДЗ: x − 1 > 0 и 3 − x > 0, значит 1 < x < 3.
2. Представляем 1 как log₂ 2 и объединяем: log₂(x − 1) = log₂(2(3 − x)).
3. Основания равны, поэтому x − 1 = 2(3 − x). Решаем: x − 1 = 6 − 2x, 3x = 7, x = 7/3.
4. Число 7/3 лежит между 1 и 3, значит удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 7/3.

Типичные ошибки

Не записывают ОДЗ до преобразований и оставляют корень, при котором аргумент логарифма неположителен. Так бывает, когда решают только полученное алгебраическое уравнение и забывают, что исходная запись имела ограничения. Проверяйте каждый аргумент отдельно и сохраняйте полученные неравенства до конца решения. Корень, не удовлетворяющий хотя бы одному условию, исключают.

Приравнивают аргументы логарифмов с разными основаниями, хотя этот переход допустим лишь при одинаковом основании. Иногда похожая запись создаёт впечатление, что логарифмы устроены одинаково, но разные основания задают разные функции. Перед приравниванием аргументов сравните основания и убедитесь, что они допустимы. Если основания отличаются, используйте другой способ преобразования.

Применяют свойства логарифмов, не проверив положительность аргументов. Формулы произведения и частного предполагают, что входящие в них выражения положительны, а не просто существуют как алгебраические выражения. Ошибку легко пропустить, если объединить логарифмы до составления ОДЗ. Запишите условия для каждого исходного аргумента и лишь затем используйте свойства.

Забывают, что основание должно быть не только положительным, но и отличным от 1. Это условие могут упустить, когда основание зависит от переменной и кажется обычным выражением. При основании 1 логарифм не определён, поэтому такие значения нельзя включать в ОДЗ. Проверьте для каждого основания оба неравенства: a > 0 и a ≠ 1.

Связь с другими темами

Для решения логарифмических уравнений нужны определение логарифма, его свойства и условия существования. Эти знания объясняют, какие преобразования допустимы и как составить ОДЗ. Также пригодятся обычные преобразования уравнений, разложение многочленов на множители и решение квадратных уравнений. Позже те же навыки помогут при изучении логарифмических неравенств и задач с показательными и логарифмическими функциями.

Что запомнить

• Аргумент каждого логарифма должен быть положительным.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.
• При одинаковых основаниях логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы.
• Уравнение logₐ f(x) = b можно заменить равенством f(x) = aᵇ.
• Свойства логарифмов позволяют объединять суммы и разности логарифмов.
• В конце решения нужно проверить корни по ОДЗ исходного уравнения.