§ 18. Логарифмическая функция, её свойства и график

Определения и обозначения

Логарифм числа — это показатель степени, в которую нужно возвести положительное основание, чтобы получить данное число: если aʸ = x, то logₐ x = y. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Такое обозначение позволяет находить неизвестный показатель степени и переводить задачу о степени в задачу о логарифме.

Основание логарифма — число a, записанное внизу справа от слова log в записи logₐ x. Оно должно быть положительным и не равным 1: a > 0, a ≠ 1. Эти ограничения нужны, чтобы степени основания давали положительные числа и зависимость от показателя позволяла однозначно определить логарифм.

Логарифмическая функция — функция y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Здесь x — аргумент, а y показывает, каким показателем нужно возвести a, чтобы получить x. Это понятие нужно, чтобы изучать закономерность сразу для всех допустимых значений аргумента, а не вычислять отдельные логарифмы.

График логарифмической функции — множество точек с координатами (x; logₐ x), показывающее, как меняется значение логарифма при изменении аргумента. Каждая точка графика соответствует одному допустимому x и полученному значению функции. По графику удобно определять, возрастает функция или убывает, и оценивать её значения.

Как это устроено

Логарифмическая функция обратна показательной: запись y = logₐ x равносильна записи x = aʸ. Это означает, что логарифм и возведение в степень взаимно отменяют друг друга, как умножение и деление. Поэтому в точке графика показательной функции с координатами (y; x) есть соответствующая точка логарифмического графика (x; y), а перестановка координат отражается относительно прямой y = x.

Аргумент логарифма обязан быть положительным, потому что при положительном основании a любая его действительная степень aʸ тоже положительна. Значит, значения x, которые можно получить в равенстве x = aʸ, составляют промежуток (0; +∞), — это область определения логарифмической функции. При этом показатель y может быть любым действительным числом, поэтому функция принимает все действительные значения.

Если a > 1, показательная функция aʸ возрастает: большему показателю соответствует большая степень. Обратная ей функция сохраняет это направление изменения, поэтому y = logₐ x тоже возрастает. Если 0 < a < 1, степени основания уменьшаются при росте показателя; вследствие обратной зависимости логарифмическая функция убывает.

При x = 1 получаем logₐ 1 = 0, потому что a⁰ = 1, поэтому график проходит через (1; 0). При x = a имеем logₐ a = 1, так как a¹ = a, и на графике лежит точка (a; 1). Эти две точки помогают построить схематический график и проверить, верно ли выбрано его направление.

Когда x приближается к нулю справа, логарифм неограниченно меняется: при a > 1 он стремится к −∞, а при 0 < a < 1 — к +∞. Поэтому график всё ближе подходит к прямой x = 0, но не пересекает её; такая прямая называется вертикальной асимптотой. При x → +∞ поведение обратное: функция стремится к +∞ при a > 1 и к −∞ при 0 < a < 1.

Свойства логарифмической функции y = logₐ x

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, к какому промежутку относится основание, и выберите соответствующий столбец. По нему можно установить знак значения, направление изменения функции и предельное поведение графика. Для поиска точек графика используйте также x = 1 и x = a.

Разбор задач

Вычислить log₂ 8 + log₂ (1/4)

Здесь оба логарифма имеют основание 2, поэтому удобно представить аргументы степенями двойки. По определению логарифма значение каждого выражения — показатель соответствующей степени. Сложив полученные числа, найдём результат.

1. Представим аргументы как степени: 8 = 2³, а 1/4 = 2⁻².
2. Применим определение: log₂ 8 = 3, log₂ (1/4) = −2.
3. Сложим значения: 3 + (−2) = 1.

Ответ: 1.

Решить уравнение log₃(x − 1) = 2

Сначала проверим, при каких x логарифм имеет смысл: выражение внутри него должно быть положительным. Затем переведём равенство из логарифмической формы в показательную. Полученное значение обязательно сопоставим с условием области допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ: x − 1 > 0, поэтому x > 1.
2. По определению логарифма log₃(x − 1) = 2 равносильно x − 1 = 3².
3. Вычислим: x − 1 = 9, откуда x = 10.
4. Проверим ОДЗ: 10 > 1, значит, найденное значение допустимо.

Ответ: x = 10.

Решить уравнение log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3

Оба логарифма имеют одинаковое основание, поэтому после определения ОДЗ их можно объединить в один логарифм произведения аргументов. Получится уравнение, которое решается переходом к показательной форме. Проверка необходима, потому что квадратное уравнение может дать корень вне ОДЗ исходной задачи.

1. ОДЗ: x − 1 > 0 и x − 3 > 0; одновременно эти условия дают x > 3.
2. Объединим логарифмы: log₂((x − 1)(x − 3)) = 3.
3. Перейдём к показательной форме: (x − 1)(x − 3) = 2³ = 8.
4. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть: x² − 4x + 3 = 8, то есть x² − 4x − 5 = 0.
5. Разложим на множители: (x − 5)(x + 1) = 0. Кандидаты: x = 5 и x = −1.
6. Условию x > 3 удовлетворяет только x = 5; значение −1 исключаем.

Ответ: x = 5.

Типичные ошибки

• Допускают основание a = 1 или отрицательное основание, забывая условия a > 0 и a ≠ 1. Это часто происходит, когда основание воспринимают просто как любое число в записи. Перед вычислением или преобразованием проверьте оба ограничения; при их нарушении выражение не задаёт логарифм в действительных числах.

• Считают, что логарифм определён при любом аргументе x. Ошибка возникает из-за смешения свойств обычных выражений и правила для степеней положительного основания: aʸ всегда положительно. Запишите для каждого логарифма условие «аргумент > 0» и проверьте, что оно выполнено.

• Полагают, что функция возрастает при любом основании. Причина — запоминание только случая a > 1 и перенос этого свойства на основания меньше единицы. Сравните основание с единицей: при 0 < a < 1 функция убывает, а график идёт вниз слева направо.

• Преобразуют уравнение с логарифмами без ОДЗ и оставляют все корни полученного уравнения. Так можно получить значение, при котором один из исходных логарифмов не существует. До преобразований найдите допустимые x, а после решения подставьте кандидатов в это условие и исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для изучения логарифмов нужно знать свойства степеней с действительным показателем и поведение показательной функции: логарифмическая функция является для неё обратной. Также пригодятся координатная плоскость и навык находить область определения функции, задавая ограничения на её выражение. Решение логарифмических уравнений использует эти знания вместе с преобразованием к показательной форме. Позже логарифмы встретятся в уравнениях и неравенствах, при изучении производной и в практических приложениях математики.

Что запомнить

• Логарифмическая функция имеет вид y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения: x > 0; множество значений — все действительные числа.
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• График проходит через точки (1; 0) и (a; 1).
• Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
• Логарифмическая функция обратна показательной функции y = aˣ.
• Знак логарифма зависит от основания и от того, больше или меньше аргумент единицы.