"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Десятичный и натуральный логарифмы — это логарифмы с основаниями 10 и e. Они помогают находить показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Обозначения lg и ln сокращают запись и широко применяются в вычислениях, уравнениях и моделях процессов роста и распада. Для вычисления на калькуляторе удобно переходить к основанию, которое в нём есть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10: lg a = log₁₀ a. Он показывает, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить a. Например, запись lg 100 означает вопрос: «В какую степень возвести 10, чтобы получить 100?» Такое обозначение удобно, когда основание 10 постоянно и его не нужно каждый раз писать.
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e: ln a = logₑ a. Он показывает, какой показатель степени числа e даёт число a. Запись ln a читают «натуральный логарифм a»; число a здесь является аргументом, то есть числом, логарифм которого ищут. Обозначение ln позволяет кратко записывать логарифмы с основанием e.
Число e — основание натурального логарифма, приблизительно равное 2,71828. Оно больше 1 и, как и основание 10, не равно единице, поэтому по нему можно определять логарифм. В записи ln a основание e не указывают отдельно: оно уже заключено в обозначении ln. Число e встречается в формулах непрерывного роста и распада.
Формула перехода к новому основанию выражает логарифм через логарифмы с другим, удобным основанием: logₐ b = log_c b / log_c a. Здесь a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1. Правило нужно, например, когда калькулятор умеет считать только lg или ln. Оно также связывает разные виды логарифмов.
По определению logₐ b = x означает, что aˣ = b. Поэтому lg a = b равносильно 10ᵇ = a: логарифм отвечает на вопрос о показателе степени. Например, lg 1000 = 3, потому что 10³ = 1000; запись lg 0,1 = −1 читается как равенство 10⁻¹ = 0,1. Так становится понятно, почему логарифм может быть нулевым или отрицательным.
Для натурального логарифма действует та же идея: ln a — показатель степени числа e, дающий a. Например, если ln a = b, то eᵇ = a. Аргумент должен быть положительным и для lg, и для ln: степени положительного основания 10 или e всегда положительны, поэтому ноль и отрицательное число получить нельзя. Ограничение касается именно аргумента, а не значения логарифма.
Выведем переход к новому основанию. Пусть a = cˣ, где x = log_c a, и одновременно b = cʸ, где y = log_c b. Тогда a в степени logₐ b равно b, а переход к основанию c даёт logₐ b = y / x = log_c b / log_c a. Это отношение позволяет считать логарифм даже без клавиши для исходного основания: на калькуляторе берут два логарифма в доступном основании и делят.
Чтобы связать lg a и ln a, применим правило перехода к основанию e: lg a = logₑ a / logₑ 10 = ln a / ln 10. Аналогично, переход к основанию 10 даёт ln a = log₁₀ a / log₁₀ e = lg a / lg e. Эти равенства верны при a > 0, поскольку оба логарифма от a должны быть определены. Приближённый результат получают, подставляя значения с калькулятора.
Свойства логарифмов применяются и к lg, и к ln, потому что оба являются обычными логарифмами с фиксированным основанием. Например, lg(xy) = lg x + lg y, а ln(xʸ) = y ln x, если выражения определены. Основание при этом не меняется: в первом случае оно всегда 10, во втором — e. Перед применением свойств следует убедиться, что аргументы логарифмов положительны.
| Характеристика | Десятичный логарифм | Натуральный логарифм |
|---|---|---|
| Обозначение | lg a | ln a |
| Основание | 10 | e ≈ 2,71828 |
| Область допустимых значений аргумента | a > 0 | a > 0 |
| Значение при аргументе 1 | lg 1 = 0 | ln 1 = 0 |
| Связь с логарифмом по другому основанию | lg a = ln a / ln 10 | ln a = lg a / lg e |
| Как вычислить на калькуляторе | Клавиша lg или ln a / ln 10 | Клавиша ln или lg a / lg e |
Таблица помогает быстро сравнить основания и обозначения, не смешивая их. При вычислениях сначала проверьте, положителен ли аргумент, затем выберите прямую клавишу калькулятора или формулу перехода. Значение при аргументе 1 одинаково, потому что любое допустимое основание в нулевой степени равно 1.
Задача 1. Вычислите lg 1000 и ln 1. Представим аргументы как степени оснований соответствующих логарифмов. Так можно сразу определить показатели, не прибегая к калькулятору.
Ответ: lg 1000 = 3, ln 1 = 0. Проверка выполнена переходом из логарифмической записи в показательную. При аргументе 1 логарифм любого допустимого основания равен нулю.
Задача 2. Выразите lg 7 через ln и найдите приближённое значение. Основание 10 заменим доступным основанием e, используя формулу перехода. Калькулятор даёт ln 7 ≈ 1,94591 и ln 10 ≈ 2,30259.
Ответ: lg 7 = ln 7 / ln 10 ≈ 0,845. Число между 0 и 1 разумно: 7 находится между 1 и 10, значит степень 10, дающая 7, должна быть между 0 и 1. Не переставляйте числитель со знаменателем, иначе получится другое значение.
Задача 3. Решите уравнение ln(x − 1) = 2 и проверьте допустимость корня. Сначала используем смысл ln: логарифм равен 2, когда аргумент является второй степенью e. Одновременно нужно учесть, что x − 1 должен быть положительным.
Ответ: x = 1 + e². Проверка ОДЗ обязательна: решение показательного уравнения само по себе ещё не гарантирует, что исходный логарифм определён. В этом примере аргумент после подстановки равен e² и положителен.
Ошибка: считать lg a логарифмом по основанию e. Её допускают, если воспринимают lg как общую запись логарифма и не запоминают, что основание уже задано символом. Проверяйте себя равенством lg a = log₁₀ a; для основания e используют ln a. Тогда для lg 100 основание 10 сразу подсказывает ответ 2.
Ошибка: путать основание и аргумент в ln a. Основание здесь всегда e, а a — число, стоящее после обозначения логарифма, и оно должно быть положительным. Иногда букву e ошибочно принимают за аргумент или думают, что аргумент может быть любым. Чтобы проверить запись, перепишите ln a как logₑ a и убедитесь, что a > 0.
Ошибка: менять местами числитель и знаменатель в формуле перехода. В logₐ b = log_c b / log_c a в числителе стоит логарифм аргумента b, а в знаменателе — логарифм основания a. Путаница возникает из-за похожих обозначений. Подставьте конкретные числа и проверьте результат: lg 100 должен равняться 2, а не ½.
Ошибка: забывать ОДЗ при решении уравнения. После перехода к показательной форме можно получить число, при котором аргумент исходного логарифма равен нулю или отрицателен. Причина — проверяют только преобразованное уравнение, а не исходное. До решения запишите условие положительности аргумента и после решения проверьте каждое найденное значение.
Для этой темы нужно знать определение логарифма, свойства степеней и переход между показательной и логарифмической формами. Именно свойства степеней объясняют, почему логарифм является показателем, а обратное преобразование помогает решать уравнения. Если эти связи понятны, переход к lg и ln сводится к выбору основания.
Десятичные и натуральные логарифмы используют при решении показательных и логарифмических уравнений. Они также входят в модели роста и распада, где величина меняется со временем. Поэтому умение переходить между основаниями полезно и при вычислениях, и при интерпретации формул.
Чем десятичный логарифм отличается от натурального?
У десятичного логарифма основание 10, и его записывают как lg a. У натурального основание e ≈ 2,71828, а обозначение — ln a.
Что означает запись lg без указанного основания?
Запись lg a означает логарифм числа a по основанию 10: lg a = log₁₀ a. Основание здесь задано самим обозначением lg.
Почему число e используется как основание натурального логарифма?
Число e — важная математическая постоянная, возникающая, в частности, при описании непрерывного роста и распада. Логарифм по этому основанию широко используется в математике и естественных науках, поэтому для него ввели отдельное обозначение ln.
Как вычислить логарифм, если калькулятор не поддерживает нужное основание?
Можно применить формулу перехода к новому основанию: logₐ b = log_c b / log_c a. Например, lg 7 можно найти как ln 7 / ln 10, используя клавишу ln.
Почему аргумент логарифма должен быть положительным?
Для положительного основания степень может принимать любое действительное значение, но результат возведения в степень всегда положителен. Поэтому логарифм существует только тогда, когда его аргумент больше нуля.
§ 17. Десятичные и натуральные логарифмы
