Десятичные и натуральные логарифмы

Определения и обозначения

Десятичный логарифм числа x — показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить x; его обозначают lg x. Например, если 10ᵧ = x, то lg x = y. Это определение помогает перейти от логарифма к знакомому действию — возведению в степень.

Запись lg x — краткое обозначение логарифма числа x по основанию 10: lg x = log₁₀ x. Основание показывает, какое число возводят в степень. Благодаря принятому сокращению для основания 10 не нужно каждый раз писать индекс.

Число e — иррациональная константа, то есть его нельзя точно записать конечной десятичной дробью или отношением целых чисел; приближённо e ≈ 2,71828. Оно служит основанием натурального логарифма. Число e часто встречается в математических моделях и показательных функциях.

Натуральный логарифм числа x — логарифм по основанию e, его обозначают ln x: ln x = logₑ x. Иными словами, ln x показывает, в какую степень нужно возвести e, чтобы получить x. Это обозначение позволяет сразу отличить логарифм по основанию e от логарифма с другим основанием.

Как это устроено

Логарифм определён как показатель степени, поэтому из равенства lg x = y следует 10ʸ = x. Если вместо y подставить сам логарифм, получится 10^(lg x) = x; аналогично e^(ln x) = x. Эти равенства показывают, что возведение в степень и нахождение логарифма с тем же основанием — обратные действия.

В общей записи logₐ x основание a указывают индексом, чтобы было ясно, какое число возводится в степень. Для основания 10 принято сокращение lg x, а для основания e — ln x. Поэтому lg x = log₁₀ x и ln x = logₑ x: различаются записи, но смысл логарифма остаётся одним и тем же.

Значение логарифма удобно понимать через знакомые степени. Так как 10² = 100, показатель, который превращает 10 в 100, равен 2, значит lg 100 = 2. Так как e¹ = e, получаем ln e = 1; аналогично ln(e³) = 3, потому что e нужно возвести в третью степень.

Аргументом называют число, от которого берут логарифм. Он должен быть положительным: при любом действительном t числа 10ᵗ и eᵗ больше нуля, поэтому ноль или отрицательное число нельзя получить возведением этих оснований в действительную степень. Отсюда lg x и ln x определены только при x > 0.

Для приближённых вычислений используют калькулятор: клавиши lg и ln находят логарифмы по основаниям 10 и e. Если требуется logₐ b, когда калькулятор не имеет клавиши для основания a, применяют переход к новому основанию: logₐ b = lg b / lg a или logₐ b = ln b / ln a. Формула работает при a > 0, a ≠ 1 и b > 0; числитель — логарифм аргумента, знаменатель — логарифм основания.

Сравнение десятичного и натурального логарифмов

Сначала по таблице проверьте, какое основание соответствует нужному обозначению. Затем используйте строку с определением через степень, чтобы проверить вычисление. Одинаковое условие на аргумент действует для обоих логарифмов.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите lg 1000 и объясните результат через определение логарифма. Нужно найти показатель степени числа 10, равный 1000. Представим число 1000 как степень основания логарифма.

1. Запишем 1000 = 10³.
2. По определению lg x — это показатель степени, в которую возводят 10, чтобы получить x.
3. Значит, lg 1000 = 3, поскольку 10³ = 1000.

Ответ: 3. Проверка состоит в возведении 10 в найденную степень: результат должен быть равен аргументу логарифма.

Задача 2. Вычислите ln(e³) и lg(10⁻²). Здесь аргументы уже записаны как степени оснований соответствующих логарифмов. Поэтому можно сразу использовать определение и прочитать показатели степеней.

1. Для ln(e³) основание равно e, а показатель равен 3, следовательно, ln(e³) = 3.
2. Для lg(10⁻²) основание равно 10, а показатель равен −2, следовательно, lg(10⁻²) = −2.
3. Проверим: e³ при логарифмировании по основанию e даёт показатель 3, а 10⁻² при логарифмировании по основанию 10 даёт показатель −2.

Ответ: 3 и −2. Отрицательный результат допустим: он означает, что аргумент является положительной дробью между 0 и 1.

Задача 3. Вычислите log₂ 7 с помощью калькулятора, выразив логарифм через lg или ln. Число 7 не является целой степенью 2, поэтому ожидаем приближённое, а не целое значение. Для вычисления воспользуемся формулой перехода к новому основанию.

1. Запишем log₂ 7 = lg 7 / lg 2; можно также использовать отношение ln 7 / ln 2.
2. Введём в калькулятор lg 7 и lg 2, затем разделим первое значение на второе.
3. Получим log₂ 7 ≈ 2,8074. Проверка по смыслу: 2² = 4, а 2³ = 8, поэтому искомый показатель должен быть между 2 и 3.

Ответ: приблизительно 2,8074. Для проверки важно не переставить числитель и знаменатель: логарифм аргумента делят на логарифм основания.

Типичные ошибки

Иногда считают, что lg x — логарифм по основанию e. Это происходит из-за того, что основание не написано рядом с аргументом. Проверяйте обозначение: lg x = log₁₀ x, а ln x = logₑ x.

Другая ошибка — записать lg 0 или ln(−3), забыв об ограничении на аргумент. Логарифм существует только для положительных чисел, поскольку 10ᵗ и eᵗ всегда положительны. Перед вычислением проверьте, что аргумент больше нуля.

Нельзя считать, что lg(a + b) = lg a + lg b: логарифм суммы в общем случае так не раскрывается. Вероятно, это правило путают с некоторыми свойствами степеней или логарифмов произведения. Проверяйте действие: правило суммы не следует из определения логарифма, а, например, lg(ab) = lg a + lg b при a > 0 и b > 0.

При переходе к новому основанию иногда меняют местами числитель и знаменатель. В формуле logₐ b = lg b / lg a наверху стоит логарифм аргумента b, внизу — логарифм основания a. Подставьте простую проверку: log₂ 8 должен равняться 3, и отношение lg 8 / lg 2 действительно даёт 3.

Связь с другими темами

Для работы с десятичными и натуральными логарифмами нужно знать, что логарифм — это показатель степени, а также уметь применять свойства степеней. Если эти понятия знакомы, определения lg и ln сводятся к поиску показателя.

Логарифмы используются при решении логарифмических уравнений и неравенств и при изучении показательных и логарифмических функций. Когда основания логарифмов различаются, помогает формула перехода к новому основанию. Свойства логарифмов упрощают выражения, но применяются только при допустимых значениях аргументов.

Что запомнить

• lg x = log₁₀ x.
• ln x = logₑ x.
• lg x = y тогда и только тогда, когда 10ʸ = x.
• ln x = y тогда и только тогда, когда eʸ = x.
• Для lg x и ln x необходимо x > 0.
• Для вычисления логарифма с другим основанием можно перейти к основанию 10 или e.