Свойства логарифмов

Определения и обозначения

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c тогда и только тогда, когда aᶜ = b. Здесь a — основание, b — аргумент логарифма, а c — его значение. Определение связывает логарифмирование с возведением в степень и позволяет переходить от одной записи к другой.

Основание логарифма должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1, а аргумент — условию b > 0. При положительном основании степени определены в обычном смысле, а основание 1 не подходит, потому что 1 в любой степени остаётся равным 1. Положительность аргумента нужна, чтобы логарифм был определён в действительных числах.

Запись logₐ b читают «логарифм b по основанию a». Если основание равно 10, часто пишут lg b, а если основание равно числу e — ln b; для свойств логарифмов эти обозначения подчиняются тем же правилам. Ограничения следует проверять до преобразований: они показывают, какие значения переменных вообще могут входить в выражение.

Как это устроено

Чтобы понять правило логарифма произведения, обозначим logₐ x = m и logₐ y = n. По определению x = aᵐ и y = aⁿ, поэтому xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, а значит, logₐ(xy) = m + n. Получаем logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y при x > 0 и y > 0; произведение превращается в сумму, потому что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Для частного действует похожая логика: x/y = aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Следовательно, logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y при положительных x и y. Деление степеней с одинаковым основанием вычитает показатели, поэтому логарифм частного раскрывается разностью, а не суммой.

Если аргумент возведён в степень r, то (aᵐ)ʳ = aᵐʳ, откуда logₐ(xʳ) = r logₐ x при x > 0. Умножение показателя степени на r объясняет появление множителя перед логарифмом. При переменном или дробном r условия на выражение и смысл степени нужно учитывать отдельно; в школьных преобразованиях сначала проверяют, что исходный аргумент положителен.

Некоторые значения следуют прямо из определения. Поскольку a⁰ = 1, logₐ 1 = 0; поскольку a¹ = a, logₐ a = 1. Также logₐ(aˣ) = x, а a^(logₐ x) = x при допустимых значениях: логарифм и возведение в степень по одному основанию отменяют друг друга.

Если основание неудобно, логарифм можно выразить через другое допустимое основание c: logₐ b = log꜀ b / log꜀ a. Обоснование видно из определения: если logₐ b = x, то aˣ = b; логарифмирование обеих частей по основанию c даёт x log꜀ a = log꜀ b. Делить можно, поскольку log꜀ a не равен нулю при a ≠ 1.

Правила раскрытия можно применять и в обратную сторону: сумму логарифмов с одинаковым основанием объединяют в логарифм произведения, а разность — в логарифм частного. Коэффициент перед логарифмом переносят в показатель степени аргумента. Основания при объединении должны совпадать, иначе свойства неприменимы; например, log₂ x + log₃ y нельзя записать как один логарифм произведения.

Основные свойства логарифмов

Сначала выберите строку, подходящую к виду выражения: произведение раскрывают в сумму, частное — в разность, степень — выносят множителем. Перед применением формулы проверьте её условия и совпадение оснований. Для обратного преобразования используйте ту же строку справа налево.

Разбор задач

Задача: упростить выражение log₂ 12 − log₂ 3 + 2log₂ 2. Нужно получить один логарифм, чтобы затем вычислить его значение. Сначала заметим, что первые два логарифма имеют одинаковое основание и стоят с разными знаками, а последний содержит множитель перед логарифмом. Все аргументы положительны, поэтому применим свойства.

1. Объединим разность первых двух логарифмов по правилу частного: log₂ 12 − log₂ 3 = log₂(12/3) = log₂ 4. Минус соответствует делению аргументов именно потому, что логарифмы имеют одно основание.
2. Применим свойство степени к слагаемому 2log₂ 2: это log₂(2²) = log₂ 4. Коэффициент стал показателем степени аргумента.
3. Теперь выражение имеет вид log₂ 4 + log₂ 4. По правилу произведения сумма равна log₂(4 · 4) = log₂ 16. У оснований по-прежнему одно и то же значение, поэтому объединение допустимо.
4. По определению логарифма log₂ 16 = 4, так как 2⁴ = 16. Проверим результат: исходное выражение равно 2 − 1 + 2 · 1 = 3? Это показывает, что при объединении на третьем шаге нужно учесть значение: log₂ 4 + log₂ 4 = 2 + 2 = 4. В исходном выражении log₂ 12 − log₂ 3 = log₂ 4 = 2, а 2log₂ 2 = 2, сумма равна 4.

Ответ: 4. Дополнительная проверка по исходным слагаемым помогает заметить арифметическую ошибку, даже если преобразования записаны верно. В частности, log₂ 2 равен 1, поэтому удвоенный логарифм равен 2, а не 1.

Типичные ошибки

• Раскрывать логарифм суммы как сумму логарифмов: logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y. Такое правило не существует, но его путают с формулой произведения, где аргументы умножаются. Проверяйте результат на простых числах: при a = 2, x = y = 1 левая часть равна 1, а правая — 0.

• Применять правило произведения или частного, не проверив аргументы. Свойства предполагают положительность каждого аргумента, и при недопустимых значениях исходные логарифмы не определены. Перед преобразованием выпишите условия на переменные, а в уравнении проверьте найденные корни.

• Объединять логарифмы с разными основаниями. Формула суммы относится только к логарифмам одного основания, однако одинаковый вид записи иногда создаёт впечатление, что правило подходит всегда. Сверьте основания; если они различны, сначала можно воспользоваться переходом к новому основанию.

• Терять знак минус при преобразовании частного. Логарифм деления даёт разность, а порядок аргументов в дроби важен; ошибку часто допускают, механически перенося формулу. Восстановите запись из logₐ x − logₐ y в виде logₐ(x/y) и проверьте, что числитель и знаменатель стоят на своих местах.

Связь с другими темами

Логарифм связан с показательной функцией: он отвечает на вопрос, какой показатель нужен, чтобы получить заданное число. Поэтому определение логарифма позволяет заменять логарифмическую запись показательной и решать простые логарифмические уравнения. Свойства логарифмов основаны на правилах действий со степенями, в частности на умножении и делении степеней с одинаковым основанием.

Переход к новому основанию связывает логарифмы с формулой отношения логарифмов и помогает вычислять значения на калькуляторе, где обычно доступны только десятичный и натуральный логарифмы. При решении уравнений свойства применяют вместе с областью допустимых значений. Это не формальность: без проверки можно принять значение, при котором логарифм не существует.

Что запомнить

• Логарифм — показатель степени: logₐ b = c равносильно aᶜ = b.
• Для logₐ b необходимо a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
• Произведение внутри логарифма превращается в сумму, частное — в разность, степень аргумента — в множитель перед логарифмом.
• Правила объединения применяются только к логарифмам с одинаковым основанием.
• Перед преобразованием и после решения уравнения проверяй допустимость значений.