"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести заданное основание, чтобы получить указанное число. Это обратное действие к возведению в степень, поэтому логарифмы помогают решать показательные уравнения и описывать процессы роста и убывания. Главное в теме — соблюдать условия существования логарифма и правильно применять свойства произведения, частного и степени. Также полезно уметь переходить к другому основанию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Такое определение позволяет заменить вопрос о логарифме знакомым вопросом о степени.
Основание логарифма a — число, которое возводят в степень. Для него требуется a > 0 и a ≠ 1. Эти ограничения нужны, чтобы логарифм был определён однозначно и имел действительное значение.
Подлогарифмическое выражение b — число или выражение под знаком логарифма. Оно должно быть положительным: b > 0. Это условие проверяют для каждого логарифма, особенно если вместо b записано выражение с переменной.
Десятичный логарифм имеет основание 10 и обозначается lg b, а натуральный — основание e и обозначается ln b. Число e примерно равно 2,718. Эти обозначения часто встречаются в вычислениях, формулах и задачах о процессах изменения величин.
Логарифм вводится как обратное действие к возведению в степень. Если aᶜ = b, то показатель c можно найти записью logₐ b = c, и наоборот. Обратимость возможна потому, что при a > 0 и a ≠ 1 показательная функция строго изменяется: она либо возрастает, либо убывает и потому не принимает одно положительное значение дважды.
Условия a > 0, a ≠ 1 и b > 0 не являются формальностью. При отрицательном или нулевом основании действительная показательная функция не задаёт нужного общего правила для любых действительных показателей. При a = 1 все степени равны 1, а при b ≤ 0 значение показательной функции получить нельзя, поэтому соответствующий логарифм не существует в действительных числах.
Основное логарифмическое тождество имеет вид a^(logₐ b) = b. Оно прямо следует из определения: logₐ b — именно тот показатель, который возвращает из основания число b. Поэтому при преобразованиях удобно заменять логарифмическую форму показательной и проверять результат обратным переходом.
Свойства логарифмов основаны на свойствах степеней. При умножении степеней с одним основанием показатели складываются, при делении вычитаются, а степень степени приводит к умножению показателей; отсюда появляются правила произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию logₐ b = log_c b / log_c a получается, если представить b и a через степени одного и того же числа c, поэтому она позволяет пользоваться калькулятором и сопоставлять логарифмы с разными основаниями.
| Свойство | Запись | Условия |
|---|---|---|
| Определение логарифма | logₐ b = c ⇔ aᶜ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Логарифм единицы и основания | logₐ 1 = 0; logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | x > 0, y > 0 |
| Логарифм частного | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | x > 0, y > 0 |
| Логарифм степени | logₐ(xⁿ) = n logₐ x | x > 0, a > 0, a ≠ 1 |
| Переход к новому основанию | logₐ b = log_c b / log_c a | c > 0, c ≠ 1, a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
Сначала проверьте условия в третьем столбце, а затем выберите подходующее свойство по виду выражения. Таблица помогает быстро сокращать вычисления, но не заменяет проверку допустимости каждого логарифма. При сложных преобразованиях полезно возвращаться к определению и проверять полученное равенство.
Задача 1. Вычислите log₂ 8. Нужно определить показатель степени, который превращает 2 в 8. Число 8 представляется как 2³, поэтому ответ находится непосредственно по определению.
Ответ: 3.
Задача 2. Упростите log₃ 27 + log₃ 9 − log₃ 3. Здесь основание одинаковое, а все числа являются степенями тройки. Можно вычислить слагаемые по определению, после чего выполнить обычные действия с числами.
Ответ: 4.
Задача 3. Решите уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. Сначала ограничим значения переменной, потому что оба выражения под логарифмами должны быть положительными. Затем объединим логарифмы и проверим корень в исходном уравнении.
Ответ: x = 3.
Запись logₐ b = c иногда делают без проверки a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Так появляются решения с несуществующими логарифмами. Проверяйте основание и подлогарифмическое выражение до начала вычислений.
Нельзя считать, что logₐ(b + c) = logₐ b + logₐ c. Свойства суммы под знаком логарифма нет, потому что оно не следует из законов степеней. Разрешённое сложение относится к произведению: logₐ b + logₐ c = logₐ(bc).
При раскрытии логарифма произведения или частного забывают условия положительности множителей. Ошибка возникает, когда формулу применяют только по внешнему виду. Перед преобразованием убедитесь, что каждый логарифм в записи имеет положительное подлогарифмическое выражение.
При решении уравнения найденные значения иногда не проверяют в исходной записи. Это может оставить корень, нарушающий ОДЗ и потому не являющийся решением. Выписывайте ОДЗ в начале и сравнивайте с ним все полученные корни.
До изучения логарифмов нужны определение степени с целым, рациональным и действительным показателем, а также свойства степеней. Логарифмы служат основой для логарифмической функции, логарифмических уравнений и неравенств. В прикладных задачах они помогают находить время при росте или убывании, например в показательных процессах.
Что означает запись logₐ b?
Она означает показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Иными словами, logₐ b = c тогда и только тогда, когда aᶜ = b.
Почему основание логарифма не может быть равно 1?
При основании 1 выражение 1ᶜ всегда равно 1, независимо от показателя c. Поэтому по результату нельзя однозначно восстановить показатель степени, а обратное действие не определяется.
Почему подлогарифмическое выражение должно быть положительным?
Показательная функция с допустимым основанием принимает только положительные значения. Поэтому равенство aᶜ = b возможно в действительных числах лишь при b > 0.
Можно ли складывать логарифмы, если под логарифмом стоит сумма?
Нет, общего свойства logₐ(b + c) = logₐ b + logₐ c не существует. Складывать логарифмы можно, например, при одинаковом основании, если под ними стоят множители: logₐ b + logₐ c = logₐ(bc).
Как перейти от логарифма с одним основанием к логарифму с другим?
Используют формулу logₐ b = log_c b / log_c a. Новое основание c должно быть положительным и не равняться 1, а также не должно совпадать с недопустимыми значениями для исходных логарифмов.
Логарифмы
