§ 16. Свойства логарифмов

Определения и обозначения

Логарифмом произведения называют логарифм произведения двух положительных чисел: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, если a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0. Здесь множители можно рассматривать отдельно, а затем складывать полученные логарифмы. Свойство помогает заменить один логарифм несколькими более простыми.

Логарифм частного вычисляют по формуле logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y при a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0. Числитель и знаменатель дают два логарифма, между которыми ставят знак минус. Это удобно, когда отдельно вычислить логарифмы числителя и знаменателя проще.

Логарифм степени подчиняется формуле logₐ(xʳ) = r logₐ x при a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Показатель r может быть любым действительным числом, не только целым. Благодаря этому степень аргумента можно заменить множителем перед знаком логарифма.

Переход к новому основанию — это запись logₐ x = log_b x / log_b a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 и x > 0. Основание b выбирают так, чтобы логарифмы в дроби было удобно находить. Это позволяет вычислять логарифм с помощью калькулятора или известных значений.

Как это устроено

Чтобы вывести правило произведения, обозначим logₐ x через m, а logₐ y через n. По определению логарифма x = aᵐ и y = aⁿ, поэтому xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Следовательно, показатель, дающий произведение xy, равен m + n, то есть logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Положительность x и y нужна, чтобы оба исходных логарифма существовали.

Для частного рассуждаем аналогично: пусть logₐ x = m и logₐ y = n, тогда x = aᵐ, y = aⁿ. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, поэтому x/y = aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Значит, показатель, соответствующий частному, равен m − n и logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. Числитель и знаменатель должны быть положительными, чтобы исходные логарифмы были определены.

Пусть logₐ x = m, тогда x = aᵐ. Возведём обе части в степень r: xʳ = (aᵐ)ʳ = aᵐʳ, поскольку при возведении степени в степень показатели перемножаются. Значит, logₐ(xʳ) = mr = r logₐ x. Такое рассуждение работает и для действительного r, если x положителен: тогда действительная степень xʳ определена и остаётся положительной.

Эти формулы особенно полезны, когда аргумент можно разложить на множители, представить частным или степенью. Например, если число раскладывается на простые множители, логарифм произведения заменяет его на сумму логарифмов этих множителей. Для дроби используют разность, а общий показатель степени выносят перед логарифмом. При вычислениях эти преобразования позволяют свести выражение к известным значениям, но не дают правила для логарифма суммы аргументов.

Формулу смены основания можно получить, положив t = logₐ x. По определению x = aᵗ; возьмём логарифм обеих частей по основанию b и получим log_b x = t log_b a. Отсюда t = log_b x / log_b a, если log_b a ≠ 0: это так, потому что a ≠ 1. Таким образом, значение логарифма не меняется, когда его записывают через новое основание. Выбирая удобное b, можно перейти, например, к десятичным логарифмам или к основанию, для которого известны степени.

Основные свойства логарифмов

Перед применением формулы проверь условия в третьем столбце: они гарантируют, что все логарифмы определены. Затем определи, что именно находится в аргументе — произведение, частное или степень. Для перехода к новому основанию выбери b, при котором числитель и знаменатель проще вычислить.

Разбор задач

Представьте log₂ 24 через сумму логарифмов простых множителей

Нужно разложить 24 на простые множители, а затем применить правило логарифма произведения. Сначала запишем 24 как произведение простых чисел, учитывая, что повторяющиеся множители тоже входят в разложение. Все аргументы положительны, поэтому правило применимо.

1. Разложим число: 24 = 2 · 2 · 2 · 3.
2. Применим свойство произведения: log₂ 24 = log₂ 2 + log₂ 2 + log₂ 2 + log₂ 3.
3. При желании заменим log₂ 2 на 1: получим 3 + log₂ 3.

Ответ: log₂ 24 = log₂ 2 + log₂ 2 + log₂ 2 + log₂ 3 = 3 + log₂ 3. В записи через сумму логарифмов простых множителей каждый множитель числа учтён отдельно. Значение log₂ 3 не требуется вычислять, чтобы выполнить преобразование.

Вычислите log₃ 72 − log₃ 8 + log₃ 2

Все логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому их можно объединить, обращая внимание на знаки перед ними. Положительный логарифм окажется в числителе, а логарифм со знаком минус — в знаменателе. После объединения удобно упростить аргумент и узнать степень тройки.

1. По свойству разности log₃ 72 − log₃ 8 = log₃(72/8).
2. Сложение логарифмов превращаем в логарифм произведения: log₃(72/8) + log₃ 2 = log₃((72/8) · 2).
3. Упростим аргумент: (72/8) · 2 = 9 · 2 = 18, поэтому выражение равно log₃ 18. Это не целый показатель степени тройки, следовательно, числовое значение в точной форме остаётся log₃ 18.

Ответ: log₃ 18. Получить целое число здесь нельзя: 18 не является степенью тройки. Перед вычислением полезно объединить выражение и проверить, стала ли упрощённая величина известной степенью основания.

Вычислите log₄ 8, используя переход к основанию 2

Основание 4 и аргумент 8 удобно выразить через степени двойки: 4 = 2², 8 = 2³. Переход к основанию 2 позволит использовать эти степени напрямую. В формуле перехода логарифм аргумента стоит в числителе, а логарифм старого основания — в знаменателе.

1. Запишем переход: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4.
2. Вычислим логарифмы по определению степеней: log₂ 8 = 3, поскольку 2³ = 8; log₂ 4 = 2, поскольку 2² = 4.
3. Подставим значения: log₄ 8 = 3/2.

Ответ: 3/2. Проверка по определению: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Значит, найденный показатель действительно превращает основание 4 в аргумент 8.

Типичные ошибки

Ошибка: записать logₐ(x + y) как logₐ x + logₐ y. Так делают, перенося правило произведения на сложение, но оно относится только к аргументу вида xy; универсальной формулы для суммы нет. Проверка: подставь, например, a = 10, x = y = 1; log₁₀ 2 не равен 0 + 0. Сначала выясняй, складываются аргументы или перемножаются.

Ошибка: применять формулу, не проверив допустимость логарифмов. Иногда забывают, что основания должны быть положительными и не равняться 1, а аргументы — быть положительными. Тогда в записи могут появиться несуществующие в действительных числах логарифмы, даже если преобразование выглядит знакомым. Проверка: перед вычислениями выпиши условия для каждого основания и аргумента.

Ошибка: вынести показатель степени не полностью или поставить его не перед всем логарифмом. По формуле logₐ(xʳ) = r logₐ x множитель r умножает значение логарифма целиком, а не только часть выражения. Ошибку допускают, например, когда механически переписывают показатель как индекс или оставляют его внутри аргумента. Проверка: подставь x = aᵐ; обе части должны равняться mr.

Ошибка: перевернуть дробь в формуле перехода к новому основанию. Правильно: logₐ x = log_b x / log_b a, а не наоборот; в знаменателе находится логарифм старого основания a. Проверка: подставь x = a — левая часть равна 1, и правая тоже должна дать 1. Например, log_b a / log_b a = 1.

Связь с другими темами

Для работы со свойствами логарифмов нужно знать определение логарифма как показателя степени и правила действий со степенями. Именно свойства степеней объясняют сложение, вычитание и умножение показателей в формулах логарифмов. Сами логарифмические свойства затем помогают преобразовывать выражения и вычислять их значения. Они также используются при решении логарифмических уравнений, где нужно упростить обе части или привести их к одному основанию.

Что запомнить

• Основание логарифма положительно и не равно 1.
• Аргумент логарифма должен быть положительным.
• Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.
• Логарифм частного равен разности логарифмов.
• Показатель аргумента можно вынести перед знаком логарифма.
• При переходе к новому основанию делят логарифм аргумента на логарифм старого основания.