Логарифмическая функция, её свойства и график

Определения и обозначения

Логарифмическая функция — функция вида y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Число a называют основанием логарифма: оно задаёт, какую показательную функцию нужно обратить. Условия на основание нужны потому, что при a = 1 значение 1ˣ всегда равно 1, а при неположительном основании обычная показательная функция с действительным показателем не задаётся.

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Запись logₐ b = c равносильна равенству aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8; такое определение позволяет переводить логарифмические записи в степенные и обратно.

Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел x, то есть x > 0. Аргументом называют число, записанное после знака логарифма. Он должен быть положительным, поскольку степень положительного основания всегда даёт положительное значение, поэтому логарифм нуля и отрицательных чисел в действительных числах не определён.

Основание a определяет направление изменения функции. При a > 1 функция y = logₐ x возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Это условие нужно учитывать при чтении графика и сравнении значений: одинаковое изменение аргумента приводит к разному порядку значений функции.

Как это устроено

Логарифмическую функцию получают, обращая показательную функцию y = aˣ. Взаимно обратные функции меняют местами аргумент и результат: если aˣ = y, то logₐ y = x. Поэтому точка (u; v) графика одной функции соответствует точке (v; u) графика другой, а такие точки симметричны относительно прямой y = x.

Положительные значения показательной функции становятся допустимыми аргументами логарифма, поэтому область определения логарифмической функции — x > 0. Показатель степени x у функции aˣ может быть любым действительным числом, значит, обратная функция принимает все действительные значения: её область значений — ℝ. Равенство logₐ 1 = 0 следует из a⁰ = 1, а logₐ a = 1 — из a¹ = a, поэтому график проходит через (1; 0) и (a; 1).

Когда a > 1, увеличение показателя степени увеличивает значение aˣ. Обратная функция сохраняет этот порядок, поэтому y = logₐ x возрастает. Если 0 < a < 1, увеличение показателя уменьшает значение aˣ; обратная ей логарифмическая функция также убывает. Это объясняет, почему одного знания области определения недостаточно: направление изменения графика зависит от основания.

Если x приближается к нулю справа, логарифм при a > 1 уходит к −∞, а при 0 < a < 1 — к +∞. При этом x = 0 не входит в область определения, и график не пересекает эту прямую. Прямую, к которой график неограниченно приближается, называют асимптотой; здесь x = 0 — вертикальная асимптота.

У всех графиков y = logₐ x одна общая точка (1; 0), потому что logₐ 1 = 0 при любом допустимом a. Точка (a; 1) тоже лежит на графике, ведь logₐ a = 1; при основании между нулём и единицей её абсцисса меньше 1, но ордината всё равно равна 1. Для a > 1 график возрастает, а для 0 < a < 1 убывает, поэтому сравнение графиков разных оснований показывает оба возможных направления.

Свойства функции y = logₐ x

Сначала проверьте основание: оно сразу подсказывает монотонность и знак функции по разные стороны от x = 1. Затем используйте область определения и характерные точки, чтобы построить график без вычисления множества значений. Обратите внимание, что точка пересечения с прямой x = a всегда имеет ординату 1.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = log₂ x и указать её область определения и множество значений. Сначала определим допустимые x и направление изменения, а затем найдём несколько точек. Для построения удобно перейти к равносильной записи 2ʸ = x: так можно использовать целые степени двойки.

1. Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому область определения — x > 0. Основание 2 больше единицы, значит, функция возрастает. Её область значений — все действительные числа.

2. Используем равенства log₂ 1 = 0 и log₂ 2 = 1, получаем точки (1; 0) и (2; 1). Так как 2⁻¹ = ½, имеем log₂ ½ = −1 и точку (½; −1). Этих точек достаточно, чтобы наметить возрастающую кривую с асимптотой x = 0.

3. Отметьте найденные точки на координатной плоскости и соедините плавной линией только при x > 0. При приближении к нулю справа график уходит вниз, а при увеличении x поднимается. Ось Oy он не пересекает.

Ответ: область определения — (0; +∞), множество значений — ℝ. График проходит через (1; 0), (2; 1), (½; −1), возрастает и имеет вертикальную асимптоту x = 0.

Задача 2. Определить, на каком из промежутков (0; 1) и (1; +∞) функция y = log₃ x принимает положительные значения. Основание 3 больше единицы, поэтому функция возрастает и обращается в ноль при x = 1. Значит, аргументы больше единицы дают значения выше нуля, а меньшие единицы — ниже.

1. Запишем граничное значение: log₃ 1 = 0, поскольку 3⁰ = 1. Точка с абсциссой 1 разделяет два указанных промежутка. Она сама не входит ни в один из них.

2. Функция y = log₃ x возрастает. Поэтому при x > 1 её значение больше log₃ 1, то есть больше нуля; при 0 < x < 1 значение меньше нуля.

Ответ: положительные значения функция принимает на промежутке (1; +∞).

Задача 3. Сравнить log₀․₅ 3 и log₀․₅ 5, не вычисляя их. Основание 0,5 находится между нулём и единицей, поэтому соответствующая логарифмическая функция убывает. При убывании большему аргументу соответствует меньшее значение функции.

1. Сравним аргументы: 3 < 5. Вычислять логарифмы не требуется, поскольку достаточно знать порядок аргументов и монотонность функции.

2. Функция y = log₀․₅ x убывает на x > 0. При увеличении аргумента от 3 до 5 значение функции уменьшается, поэтому порядок результатов будет противоположен порядку аргументов.

Ответ: log₀․₅ 3 > log₀․₅ 5.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записывать область определения как все действительные числа, перенося её с показательной функции. Так происходит из-за смешения аргумента показательной функции и её значения: у логарифма аргументом служит положительное число. Проверяйте, что под знаком логарифма стоит выражение больше нуля.

Вторая ошибка — считать логарифмическую функцию возрастающей при любом основании. Часто запоминают только график при основании больше единицы и не учитывают случай 0 < a < 1. Сначала сравните основание с единицей: в первом случае функция возрастает, во втором убывает.

Третья ошибка — путать значения в точках x = 1 и x = a. Из равенств a⁰ = 1 и a¹ = a следует, что logₐ 1 = 0, а logₐ a = 1. Чтобы проверить координаты характерных точек, подставьте абсциссу в определение логарифма.

Четвёртая ошибка — рисовать график при x ≤ 0 или пересекать ось Oy. Иногда кривую продолжают влево по привычке к графикам, определённым на всей числовой прямой. Проверка области определения сразу показывает, что допустимы только положительные x, а x = 0 является асимптотой.

Связь с другими темами

Для изучения логарифмической функции нужно знать определение логарифма и свойства показательной функции, особенно её монотонность и взаимную обратность. Позже логарифмические свойства помогут решать логарифмические уравнения и неравенства. Построение и анализ графика связаны с преобразованием функций: знание области определения, знака и монотонности помогает исследовать новые выражения.

Что запомнить

• Логарифмическая функция имеет вид y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1.
• Её область определения: x > 0; множество значений — все действительные числа.
• График проходит через точку (1; 0).
• При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.
• Прямая x = 0 — вертикальная асимптота графика.
• Функции y = aˣ и y = logₐ x взаимно обратны.