§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график

Определения и обозначения

Логарифмическая функция y = logₐx — функция, обратная показательной функции y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Запись logₐx читают «логарифм x по основанию a». Она позволяет найти показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число.

Основание логарифма a — фиксированное положительное число, не равное 1. Его выбирают до того, как рассматривают функцию, и оно влияет на форму графика и направление изменения функции. Поэтому условия a > 0 и a ≠ 1 проверяют прежде, чем применять свойства логарифма.

Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел x, то есть (0; +∞). Это все значения аргумента, при которых выражение logₐx имеет смысл. Такое ограничение особенно важно при решении уравнений и неравенств: их ответы нужно проверять на положительность аргумента.

График логарифмической функции — кривая, получаемая отражением графика y = aˣ относительно прямой y = x. Эта прямая меняет местами координаты каждой точки: точке (u; v) соответствует точка (v; u). Такое представление помогает строить логарифмический график по уже знакомому показательному.

Как это устроено

Равенство y = logₐx по определению логарифма означает, что aʸ = x. Значит, логарифмическая функция обращает действие показательной: если показательная функция по аргументу выдаёт значение, то обратная функция по этому значению восстанавливает аргумент. Поэтому координаты соответствующих точек меняются местами, а графики отражаются относительно y = x.

В выражении logₐx аргумент x должен быть результатом возведения положительного a в действительную степень. Такое возведение всегда даёт положительное число, но никогда не даёт ноль или отрицательное число. Поэтому функция определена только при x > 0; при этом для любого действительного y существует положительное x = aʸ, так что множеством значений служит вся числовая прямая.

Для любого допустимого основания logₐ1 = 0, поскольку a⁰ = 1, а logₐa = 1, поскольку a¹ = a. Отсюда на графике есть точки (1; 0) и (a; 1). Они дают простые ориентиры для построения, хотя для точного эскиза полезно выбрать и другие удобные значения.

Если a > 1, показательная функция возрастает: при увеличении показателя её значение увеличивается. Обратная функция сохраняет направление монотонности, поэтому y = logₐx тоже возрастает. Если 0 < a < 1, показательная функция убывает, и обратная ей логарифмическая функция также убывает.

При x → 0⁺ график приближается к прямой x = 0, а значения функции неограниченно меняются. Для a > 1 они уходят к −∞, потому что малому положительному x соответствует всё более отрицательный показатель aʸ; для 0 < a < 1 значения уходят к +∞. Прямая x = 0 называется вертикальной асимптотой: график приближается к ней, но не пересекает её.

Графики y = log₂x и y = log₁/₂x позволяют сравнить оба случая основания: первый возрастает, второй убывает. Оба проходят через (1; 0), а x = 0 остаётся их вертикальной асимптотой.

Свойства функции y = logₐx

Сначала проверь основание и выбери нужный столбец: именно от основания зависят монотонность и знак функции. Остальные свойства одинаковы при обоих допустимых типах основания. Точки из последней строки можно использовать как ориентиры, а затем провести плавную кривую с учётом асимптоты.

Разбор задач

1. Область определения, нуль и знак функции y = log₂x

Условие: укажи область определения и множество значений, найди нуль функции и определи, где она положительна. Основание 2 больше 1, поэтому функция возрастает. Это поможет установить знак по одну и другую сторону от нуля функции.

1. Для логарифма требуется x > 0, значит, область определения — (0; +∞).
2. Поскольку log₂1 = 0, нуль функции равен x = 1. При возрастании функции значения справа от нуля положительны, а слева — отрицательны.
3. Множество значений — ℝ: любому действительному y соответствует x = 2ʸ > 0. Следовательно, функция положительна при x > 1.

Ответ: область определения (0; +∞), множество значений ℝ, нуль x = 1; функция положительна на (1; +∞).

2. Построение графика y = log₃x

Условие: построй график и отметь точки с абсциссами 1/3, 1 и 3. Для выбора ординат удобно переписать равенство как 3ʸ = x. Подставим каждую заданную абсциссу и найдём показатель y, а затем учтём поведение графика около нуля.

1. Если x = 1/3, то 3ʸ = 1/3 = 3⁻¹, значит, y = −1; получаем точку (1/3; −1).
2. Если x = 1, то 3ʸ = 1 = 3⁰, значит, y = 0; получаем (1; 0). Если x = 3, то 3ʸ = 3¹, значит, y = 1; получаем (3; 1).
3. Так как 3 > 1, функция возрастает. Проведи через отмеченные точки плавную возрастающую кривую только при x > 0, приближающуюся к прямой x = 0.

Ответ: точки (1/3; −1), (1; 0), (3; 1); вертикальная асимптота — x = 0.

3. Сравнение графиков и неравенство

Условие: сравни y = log₂x и y = log₁/₂x и реши log₁/₂x ≥ 1. Основания 2 и 1/2 взаимно обратны, поэтому преобразуем второй логарифм. Полученное соотношение покажет и связь графиков, и нужную область решения.

1. По формуле перехода к обратному основанию log₁/₂x = −log₂x. Значит, ординаты графиков при одном и том же x противоположны, то есть графики симметричны относительно оси Ox.
2. Неравенство −log₂x ≥ 1 равносильно log₂x ≤ −1. Функция log₂x возрастает, поэтому сохраняем знак неравенства при переходе к аргументам.
3. Получаем x ≤ 2⁻¹ = 1/2. Одновременно учитываем область определения x > 0.

Ответ: графики симметричны относительно оси Ox; решение неравенства — 0 < x ≤ 1/2.

Типичные ошибки

Ошибочно указывать область определения как все действительные числа. Так происходит, если забыть, что логарифм определён только при положительном аргументе. Проверяй условие x > 0 для каждого логарифма отдельно и записывай его до преобразований.

Иногда считают, что логарифмическая функция всегда возрастает, потому что вспоминают только основание больше 1. При 0 < a < 1 она убывает, как и показательная функция с таким основанием. Перед сравнением логарифмов сначала определи, в какой из двух промежутков попало основание.

Нельзя подставлять x = 0 в формулу или отмечать точку пересечения графика с осью y. Логарифм нуля не существует, хотя к этой оси график может быть очень близок. Проверка простая: если точка лежит на оси y, её абсцисса равна нулю и не входит в область определения.

Графики при основаниях a > 1 и 0 < a < 1 легко перепутать, нарисовав оба возрастающими. Второй график убывает; для взаимно обратных оснований его можно получить отражением первого относительно Ox, поскольку log₁/ₐx = −logₐx. Проверь эскиз по точкам (1; 0), (a; 1) и по направлению изменения слева направо.

Связь с другими темами

Для работы с логарифмической функцией нужны определение логарифма и свойства показательной функции: обратность двух функций объясняет перестановку координат при отражении относительно y = x. Также пригодятся понятия области определения, множества значений и монотонности. Умение читать график и следить за знаком функции помогает решать логарифмические уравнения и неравенства; сама функция понадобится при исследовании функций и изучении производной логарифма.

Что запомнить

• Для y = logₐx основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1.
• Область определения — (0; +∞), множество значений — ℝ.
• График проходит через точку (1; 0); также logₐa = 1.
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• Прямая x = 0 — вертикальная асимптота.
• Логарифмическая функция обратна показательной с тем же основанием.