"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Логарифм помогает находить показатель степени, когда известны основание и результат возведения. Для действительных логарифмов основание должно быть положительным и не равным 1, а аргумент — положительным. Главный способ работать с логарифмом — переводить его в равенство со степенью и проверять условия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени x, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = x тогда и только тогда, когда aˣ = b. Для действительного логарифма необходимо, чтобы a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Иными словами, логарифм отвечает на вопрос «в какую степень?», поэтому он нужен, когда требуется найти неизвестный показатель.
Основание логарифма — число a, которое возводят в степень. Оно должно быть положительным и отличным от 1. По основанию определяется, какую степень нужно искать, поэтому его нельзя путать с числом под знаком логарифма.
Аргумент логарифма — число b, стоящее под знаком логарифма. В действительных числах аргумент должен быть положительным. Это условие позволяет сразу проверить, имеет ли запись смысл, ещё до вычислений или решения уравнения.
Десятичным называют логарифм по основанию 10, его записывают как lg b. В записи lg основание 10 обычно не указывают, так что lg b означает log₁₀ b. Такое обозначение удобно для логарифмов, основание которых равно десяти.
Логарифм возникает как обратная операция к возведению в степень. Если основание и результат степени уже известны, то логарифм позволяет найти показатель: например, равенство 2³ = 8 превращается в log₂ 8 = 3. Поэтому логарифм не вводит новое значение числа, а иначе выражает связь между основанием, показателем и результатом.
Ограничения на основание связаны с тем, как устроена показательная функция y = aˣ. При a > 0 и a ≠ 1 она принимает все положительные значения, причём каждому такому значению соответствует ровно один показатель степени. Это позволяет однозначно найти логарифм любого положительного числа. При a = 1 функция всегда равна 1, а при неположительном основании она не задаёт нужную для действительных логарифмов функцию на всех действительных x.
Аргумент должен быть положительным, потому что при положительном основании a значение aˣ положительно для любого действительного x. Следовательно, никаким действительным показателем нельзя получить ноль или отрицательное число. Именно поэтому записи logₐ 0 и logₐ(−b) не имеют значения в действительных числах, даже если основание допустимо.
Перевод из логарифмической формы в показательную помогает раскрыть смысл записи и решать уравнения. В равенстве logₐ b = x основание a становится основанием степени, x — её показателем, а b — результатом: aˣ = b. Обратный переход выполняют так же, поэтому полученную запись можно проверить возведением в степень. При переходе нельзя забывать о начальных условиях a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Основные значения сразу следуют из определения. Поскольку a⁰ = 1, показатель для получения единицы равен нулю, то есть logₐ 1 = 0. Поскольку a¹ = a, получаем logₐ a = 1; а из равенства aˣ = aˣ следует logₐ(aˣ) = x, если основание допустимо. Эти соотношения удобны для простых вычислений и проверки ответов.
| Логарифмическая запись | Показательная запись | Ограничения |
|---|---|---|
| logₐ b = x | aˣ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| logₐ b = x | aˣ = b | Основание a; аргумент b |
Чтобы перейти к показательной форме, определите основание, аргумент и значение логарифма, а затем запишите aˣ = b. После перехода проверьте, что основание и аргумент удовлетворяют ограничениям. Обратная проверка состоит в том, чтобы убедиться: найденный показатель действительно превращает основание в аргумент.
Задача 1. Вычислите log₂ 8. Нужно найти показатель, в который следует возвести 2, чтобы получить 8. Представим 8 как степень основания: 8 = 2³. Значит, искомый показатель равен 3.
Ответ: 3. Такой способ подходит, когда аргумент можно представить как степень основания. При проверке обязательно возведите основание именно в найденную степень.
Задача 2. Вычислите log₃(1/9) и log₅ 1. В первом случае представим дробь как степень тройки: 1/9 = 3⁻², поскольку 3² = 9. Во втором случае ищем показатель, при котором степень пятёрки равна единице. Нулевая степень любого допустимого основания равна 1.
Ответ: −2 и 0. Отрицательный показатель в первом ответе допустим: он означает обратную степень. Во втором примере полезно вспомнить, что логарифм единицы равен нулю.
Задача 3. Решите уравнение log₂(x − 1) = 3. Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому сначала найдём допустимые x: x − 1 > 0. Затем заменим логарифмическую запись равенством 2³ = x − 1. После вычисления проверим условие и подстановку в исходное уравнение.
Ответ: x = 9. Условие на аргумент нужно записывать до преобразований, иначе можно принять недопустимое значение. Подстановка в исходное уравнение подтверждает, что решение верно.
Первая ошибка — переставлять основание и аргумент: в logₐ b основание — a, а аргумент — b. Путаница возникает из-за того, что оба числа записаны рядом со знаком логарифма. Чтобы проверить себя, прочитайте запись словами: логарифм числа b по основанию a. Затем убедитесь, что при переходе к степени получается aˣ = b.
Вторая ошибка — считать допустимым основание a = 1. Такое основание даёт только 1 при любой степени, поэтому показатель нельзя определить однозначно. Это ограничение иногда забывают, проверяя только положительность основания. Перед вычислением отдельно убедитесь, что основание не равно единице.
Третья ошибка — подставлять нулевой или отрицательный аргумент. Такие значения не получаются возведением положительного основания в действительную степень, поэтому соответствующий логарифм не определён в действительных числах. Ошибку легко заметить, проверив знак числа под знаком логарифма до решения.
Четвёртая ошибка — неверно переводить logₐ b = x в степень и менять местами числа. Тогда можно ошибочно записать xᵃ = b или aᵇ = x. Причина — забытое значение каждой части записи: x является показателем, а b — результатом. Проверяйте перевод вопросом: «Какую степень основания a нужно взять, чтобы получить b?»
Для понимания логарифмов нужны определение степени с действительным показателем и свойства показательной функции y = aˣ. Именно её обратная связь между показателем и значением лежит в основе логарифма. Логарифмы применяются при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств, когда неизвестное находится в показателе или под знаком логарифма. Позже это понятие используется при изучении логарифмической функции и её свойств.
Что показывает логарифм числа?
Логарифм показывает показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Например, log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8.
Почему основание логарифма не может быть равно 1?
Если основание равно 1, то 1 в любой степени равно 1. Поэтому по результату нельзя определить единственный показатель степени, а обратную операцию определить невозможно.
Почему аргумент логарифма должен быть положительным?
При положительном основании значение aˣ положительно для любого действительного x. Значит, ноль и отрицательное число нельзя получить таким возведением в степень.
Как перевести логарифмическое равенство в показательное?
Равенство logₐ b = x переводят в aˣ = b: основание остаётся основанием степени, логарифм становится показателем, а аргумент — результатом. При этом a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Чему равны log_a 1 и log_a a?
При допустимом основании logₐ 1 = 0, потому что a⁰ = 1. Также logₐ a = 1, потому что a¹ = a.
§ 14. Понятие логарифма
