§ 13. Показательные неравенства

Определения и обозначения

Показательное неравенство — неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени с постоянным положительным основанием, не равным 1. Например, в неравенстве 2ˣ > 5 неизвестное x стоит именно в показателе. Это определение помогает отличить такие задачи от обычных степенных неравенств, где переменная находится в основании.

Основание показательной степени — постоянное число a, для которого в показательной функции выполняются условия a > 0 и a ≠ 1. Положительность основания позволяет определять aˣ для любого действительного x, а значение 1 исключают, потому что 1ˣ всегда равно 1. Проверка основания подсказывает, какие свойства функции можно применять при решении.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, если преобразование не меняет набор подходящих значений x, переход равносилен и ответ можно записывать по результату последнего неравенства. Это понятие нужно, чтобы контролировать решение: некоторые операции требуют изменения знака или дополнительных условий.

ОДЗ показательного неравенства — множество значений переменной, при которых определены все входящие в него выражения. У чистой степени aˣ при a > 0 ограничений на x нет, но они могут возникнуть в других частях неравенства. Определение ОДЗ помогает не включить в ответ значения, при которых исходное выражение не имеет смысла.

Как это устроено

Поведение показательной функции объясняет, что происходит со знаком при сравнении степеней. Если a > 1, увеличение x увеличивает значение aˣ, поэтому функция возрастает и сохраняет порядок аргументов. Если 0 < a < 1, увеличение x уменьшает значение степени: функция убывает и меняет порядок. Именно поэтому для основания меньше единицы при переходе от сравнения степеней к сравнению показателей знак неравенства переворачивается.

В неравенстве aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ обе части имеют одинаковое основание, поэтому можно воспользоваться монотонностью одной и той же функции. При a > 1 сравнение равносильно f(x) > g(x), а при 0 < a < 1 — f(x) < g(x). После этого задача обычно становится линейной, квадратной или иной знакомой задачей о выражениях в показателях. Условие об одинаковом основании здесь принципиально: без него сравнивать показатели нельзя.

Чтобы свести степени к общему основанию, основания представляют как степени одного числа. Например, 8 = 2³ и 4 = 2², поэтому 8ˣ можно записать как 2³ˣ, а 4ˣ — как 2²ˣ. Теперь у степеней основание 2, и можно сравнивать показатели, учитывая, что 2 > 1. Если основание общего вида окажется между 0 и 1, направление сравнения будет обратным.

Некоторые выражения становятся квадратными, если рассматривать их как многочлен от одной и той же степени. Тогда вводят замену t = aˣ: например, a²ˣ = (aˣ)² = t². Поскольку основание положительно, t тоже обязательно положительно; поэтому после решения квадратного неравенства оставляют только подходящие t > 0. Затем неравенство для t переводят обратно в неравенство для x с учётом монотонности функции.

Если основания или выражения в показателях сразу не приводятся к общему виду, сначала проверяют, какие преобразования допустимы, и находят ОДЗ. Нельзя применять правило сравнения показателей к разным основаниям или логарифмировать выражения, не убедившись, что они положительны. Каждый шаг должен сохранять множество решений либо сопровождаться учётом появившихся ограничений. Если простого алгебраического перехода нет, можно исследовать функции и использовать их графики для проверки решения.

Основные переходы при решении показательных неравенств

Сначала определи, одинаковы ли основания, а затем проверь, больше ли основание единицы. В строках с логарифмом дополнительно требуется b > 0; знак сравнения зависит от монотонности логарифмической функции. При замене всегда решай неравенство вместе с условием t > 0.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство 3²ˣ⁻¹ > 3ˣ⁺². Основания совпадают, а число 3 больше единицы, поэтому показательная функция возрастает. Значит, можно сравнить показатели без изменения знака неравенства.

1. Запишем неравенство для показателей: 2x − 1 > x + 2.
2. Вычтем x из обеих частей и прибавим 1: x > 3. Эти действия сохраняют знак и множество решений.
3. Полученное условие уже является ответом, поскольку исходные степени определены при любом x.

Ответ: x > 3. Проверка, например при x = 4: показатели равны 7 и 6, поэтому первая степень действительно больше.

Задача 2. Решить неравенство (½)ˣ⁻¹ ≤ 8. Чтобы сравнить показатели, представим обе части как степени с основанием ½. Число 8 равно (½)⁻³, потому что (½)⁻³ = 2³. Основание меньше единицы, поэтому при сравнении показателей знак изменится.

1. Перепишем неравенство: (½)ˣ⁻¹ ≤ (½)⁻³.
2. Так как функция y = (½)ˣ убывает, получаем x − 1 ≥ −3. Здесь знак меняется с ≤ на ≥.
3. Прибавим 1 к обеим частям: x ≥ −2. Дополнительных ограничений на x нет.

Ответ: x ≥ −2. При граничном значении x = −2 обе части равны 8, а при большем x левая часть становится меньше, что согласуется с убыванием функции.

Задача 3. Решить неравенство 4ˣ − 5·2ˣ + 4 ≥ 0. Здесь 4ˣ можно выразить через 2ˣ: это позволяет увидеть квадратное выражение от одной величины. Обозначим положительную степень 2ˣ новой переменной и сначала решим неравенство относительно неё.

1. Поскольку 4ˣ = (2ˣ)², введём t = 2ˣ. Тогда t > 0, а неравенство принимает вид t² − 5t + 4 ≥ 0.
2. Разложим квадратный трёхчлен: (t − 1)(t − 4) ≥ 0. Его корни 1 и 4, поэтому решение — t ≤ 1 или t ≥ 4.
3. Пересечём это множество с условием t > 0: получим 0 < t ≤ 1 или t ≥ 4. Так как t = 2ˣ и основание 2 > 1, соответствующие условия дают x ≤ 0 или x ≥ 2.

Ответ: x ≤ 0 или x ≥ 2. Значения между 0 и 2 не подходят: тогда 1 < 2ˣ < 4, и квадратный трёхчлен отрицателен.

Типичные ошибки

При основании 0 < a < 1 иногда сравнивают показатели, не меняя знак. Так происходит, если забыть, что показательная функция убывает: рост показателя уменьшает степень. Для самопроверки выпиши, возрастает или убывает функция, и подставь простой пример, например основание ½.

Другая ошибка — переносить знак сравнения с чисел на показатели при разных основаниях. Такой переход не обоснован: например, на значение степени влияет не только показатель, но и основание. Сначала сведи степени к одному основанию, а если это невозможно, выбери иной метод и не сравнивай показатели напрямую.

При замене t = aˣ можно забыть условие t > 0 и включить в ответ отрицательные корни квадратного неравенства. Их не может принимать степень с положительным основанием, поэтому они не соответствуют ни одному x. Проверяй ответ заменой t пересечением найденного множества с областью t > 0.

При переходе от aˣ > b к логарифмам иногда не проверяют, что b > 0, или не учитывают направление неравенства. Логарифм действительного числа определён только при положительном аргументе, а при основании логарифма между 0 и 1 он убывает. Перед переходом проверь b и основание, затем убедись, что знак выбран с учётом монотонности.

Связь с другими темами

Для решения нужны свойства степеней, умение решать линейные и квадратные неравенства, а также понимание монотонности функции. Монотонность показательной функции помогает обосновать сравнение её значений; график может наглядно подтвердить, где выполняется неравенство. Освоенные приёмы пригодятся при изучении логарифмических неравенств, где тоже важны область определения и направление монотонности. Они используются и при исследовании функций, когда нужно найти промежутки с заданными свойствами.

Что запомнить

• Основание показательной функции положительно и не равно 1.
• При основании больше 1 функция возрастает.
• При основании между 0 и 1 функция убывает.
• Сравнивая степени с одинаковым основанием, учитывай направление монотонности.
• Перед заменой t = aˣ запиши условие t > 0.
• Проверяй, что каждый переход сохраняет равносильность.