§ 3. Показательные неравенства

Определения и обозначения

Показательное неравенство — неравенство, в котором переменная входит в показатель степени, например 2ˣ > 5. Это отличает его от неравенства вроде x² > 5, где переменная находится в основании. Различие важно: для степеней с переменной-показателем применяют свойства показательной функции.

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Число a называют основанием, а x — переменной-показателем. Основание определяет, возрастает функция или убывает, поэтому от него зависит способ сравнения степеней.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одинаковые решения. При решении нужно переходить от одного неравенства к равносильному, чтобы не потерять подходящие значения и не добавить лишние. Например, к обеим частям можно прибавить одно и то же число, не меняя знак.

Множество решений неравенства — все значения переменной, при которых получается верное числовое утверждение. Если подходят все числа между двумя границами, ответ записывают промежутком, например (1; 4]. Такой ответ сразу показывает, включены ли граничные значения.

Как это устроено

Показательная функция определена при любом действительном x, поэтому показатель можно подставлять и целым, и дробным, и отрицательным. При этом значение aˣ всегда положительно: отрицательное основание для такой функции не подходит. Это позволяет сравнивать выражения через свойства одной и той же функции, не опасаясь появления нулевых или отрицательных значений степени.

Если основания одинаковы и больше 1, функция y = aˣ возрастает. Возрастающая функция сохраняет порядок: большему x соответствует большее значение функции. Поэтому неравенство aᵘ > aᵛ можно заменить на u > v, а при знаке < показатели сравнивают в том же направлении.

При основании между 0 и 1 функция убывает. Например, ½² меньше ½¹: показатель стал больше, а значение степени уменьшилось. Поэтому при переходе от сравнения степеней к сравнению показателей направление знака меняют на противоположное; без этого решения будут неверными.

Если основания различны, сначала ищут возможность привести их к одному основанию. Например, 4ˣ можно переписать как 2²ˣ, после чего степени с основанием 2 уже можно сравнивать по показателям. Иногда выражение удобнее представить через одну степень и сделать замену переменной, а затем решить обычное алгебраическое неравенство.

Не каждое неравенство удаётся свести к сравнению двух степеней с одинаковым основанием. Тогда используют свойства функций, сравнивают графики или подбирают замену, которая упрощает выражение. При любом способе следят, чтобы преобразования сохраняли множество решений, а введённые ограничения учитывались до записи ответа.

Решение показательных неравенств при одинаковых основаниях

Сначала определи, к какой строке относится основание, а затем сравни показатели, соблюдая указанное направление знака. Для знаков ≥ и ≤ правило такое же: при убывающей функции знак также меняют на противоположный.

Разбор задач

Решим неравенство 3^(2x − 1) > 3^(x + 2). Здесь основания одинаковые, поэтому важнее не выполнять вычисления со степенями, а проверить, сохраняется ли порядок при переходе к показателям. Основание 3 больше 1, значит, соответствующая функция возрастает.

1. Сравниваем показатели в том же направлении: 2x − 1 > x + 2. Это равносильный переход, поскольку функция с основанием 3 возрастает.

2. Переносим слагаемые: 2x − x > 2 + 1, откуда x > 3. При переносе слагаемых знак неравенства не меняется.

3. Записываем все числа, большие 3: x ∈ (3; +∞). Число 3 не включено, потому что исходное неравенство строгое.

Ответ: x ∈ (3; +∞).

Теперь решим (1/4)^(x + 1) ≤ (1/4)^(2x − 3). Основание положительно, но меньше 1, значит, функция убывает. Поэтому при сравнении показателей знак ≤ меняется на ≥.

1. Переходим к показателям с изменением знака: x + 1 ≥ 2x − 3. Если бы основание было больше 1, такого изменения не потребовалось бы.

2. Переносим x в правую часть, а числа — в левую: 1 + 3 ≥ 2x − x. Получаем 4 ≥ x, то есть x ≤ 4.

3. Записываем ответ промежутком (−∞; 4]. Граница 4 входит в ответ, так как исходное неравенство нестрогое и при равных показателях степени равны.

Ответ: x ∈ (−∞; 4].

Решим 4ˣ − 5·2ˣ + 4 ≤ 0. Основания можно согласовать: 4ˣ = (2ˣ)². Тогда выражение становится квадратным относительно 2ˣ, поэтому введём новую переменную и не забудем её ограничение.

1. Пусть t = 2ˣ. Поскольку показательная функция положительна, t > 0, а исходное неравенство принимает вид t² − 5t + 4 ≤ 0.

2. Разложим квадратный трёхчлен: (t − 1)(t − 4) ≤ 0. Корни равны 1 и 4, поэтому решением квадратного неравенства будет 1 ≤ t ≤ 4.

3. Возвращаемся к x: 1 ≤ 2ˣ ≤ 4. Так как функция 2ˣ возрастает, сравниваем показатели: 0 ≤ x ≤ 2.

Ответ: x ∈ [0; 2]. Условие t > 0 было учтено: весь найденный промежуток для t положителен.

Типичные ошибки

• При 0 < a < 1 иногда сравнивают показатели в том же направлении, что и степени. Так происходит, если забыть, что функция убывает. Проверь основание: для убывающей функции при переходе к показателям знак нужно поменять.

• При a > 1 некоторые меняют направление знака, будто функция убывает. Путаница возникает из-за привычного правила о перемножении неравенства на отрицательное число, хотя здесь причина другая — монотонность функции. Проверь, что при основании больше 1 функция возрастает и сохраняет порядок.

• Иногда допускают основание a ≤ 0 или a = 1. Это неверно: показательная функция с действительным показателем требует a > 0, а при a = 1 она становится постоянной и обычное сравнение показателей невозможно. Перед применением правил проверь оба условия для основания.

• После замены t = aˣ можно забыть, что t > 0, и оставить в ответе нулевые или отрицательные значения t. Обычно это происходит, когда замену воспринимают как новую независимую переменную без связи с исходной. Сначала запиши допустимые значения t, а после решения вернись к x и проверь результат в исходном неравенстве.

Связь с другими темами

Для решения показательных неравенств нужны свойства степеней с действительными показателями и умение преобразовывать степенные выражения. При замене переменной пригодятся навыки решения линейных и квадратных неравенств, а для записи результата — умение задавать множества промежутками. Эти методы используются и в смешанных показательно-логарифмических неравенствах, а также при исследовании функций, когда нужно определить, где одна величина больше другой.

Что запомнить

• В показательном неравенстве переменная входит в показатель степени.
• Для функции aˣ необходимо a > 0 и a ≠ 1.
• При a > 1 функция aˣ возрастает, поэтому порядок показателей сохраняется.
• При 0 < a < 1 функция aˣ убывает, поэтому порядок показателей меняется на противоположный.
• Перед сравнением степеней с разными основаниями попробуй привести их к общему основанию.
• При замене t = aˣ обязательно учитывай, что t > 0.
• В ответ включай все значения переменной, удовлетворяющие исходному неравенству.