§ 4. Системы показательных уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в показатель степени: например, 2ˣ = 8. Его можно отличить от уравнения с переменной в основании, например x² = 9: там неизвестная стоит на месте основания, а не показателя. Это различие подсказывает, какие свойства применять при решении.

Показательное неравенство — неравенство, в котором неизвестная находится в показателе степени, например 3ˣ > 9. Способ сравнения показателей зависит от основания: при основании больше 1 функция возрастает, а при основании между 0 и 1 убывает. Поэтому одного узнавания степеней недостаточно — нужно проверить основание.

Система показательных уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Её решением является набор значений неизвестных, подходящий каждому уравнению системы. Это понятие нужно, чтобы не принять частное решение одного уравнения за ответ всей системы.

Система показательных неравенств — несколько неравенств с одними и теми же неизвестными. Решение каждого неравенства задаёт своё множество значений, а решение системы — их пересечение. Такой подход оставляет только значения, удовлетворяющие всем условиям сразу.

Как это устроено

Чтобы сравнивать степени, их часто приводят к одному основанию: например, 8 можно записать как 2³. Тогда сравнение 2ˣ и 2³ сводится к сравнению показателей, поскольку при одинаковом основании степень определяется именно показателем. Но результат такого сравнения зависит от поведения функции y = aˣ. При a > 1 она возрастает, а при 0 < a < 1 убывает, поэтому во втором случае порядок значений показателей и степеней противоположен.

Если в системе повторяются одинаковые выражения, например aˣ и aʸ, удобно обозначить их новыми буквами: t = aˣ, u = aʸ. Система тогда может стать обычной алгебраической системой, которую проще решать подстановкой или другими знакомыми способами. Однако замена описывает не любые числа: при положительном основании степени aˣ всегда положительны, значит t > 0. После решения нужно учесть это ограничение и вернуться к исходным переменным, иначе можно получить значения, не соответствующие исходной системе.

Не всегда требуется вводить замену: иногда связь между неизвестными уже дана в другом уравнении. Например, если x = y + 1, то 2ˣ = 2ʸ⁺¹ = 2 · 2ʸ. Так одно степенное выражение можно заменить через другое, и число неизвестных в уравнении уменьшается. Этот приём полезен, когда уравнение связывает показатели, а сами степени имеют одинаковое основание.

В системе неравенств каждое условие сначала решают отдельно, потому что у разных показательных функций могут быть разные основания и разное направление изменения. Для одного неравенства получают свой промежуток или набор значений, для другого — свой. Затем находят пересечение: значение входит в ответ только тогда, когда принадлежит каждому из найденных множеств. Объединение здесь не подходит, ведь оно позволило бы выполнить лишь одно из условий.

Преобразования должны сохранять решения исходной системы. При сравнении степеней проверяют, что основания положительны и не равны 1; при замене — что новые переменные удовлетворяют ограничениям вроде t > 0. После этого найденные значения подставляют в исходные уравнения или неравенства. Такая проверка помогает заметить потерянные условия и посторонние решения.

Основные приёмы решения систем показательных уравнений и неравенств

Сначала выберите приём, который упрощает степени: общее основание, замену или связь между неизвестными. Для неравенств отдельно установите монотонность каждой функции, а затем объединяйте результаты пересечением. В любом случае сверяйте ответ с исходной системой.

Разбор задач

Задача 1. Решить систему: 2ˣ = 8; 3ʸ = 9. Уравнения не связывают неизвестные между собой, поэтому каждое можно решить отдельно. Запишем правые части как степени с теми же основаниями. После этого равенство степеней с одинаковым основанием позволяет сравнить показатели.

1. Представим числа: 8 = 2³, 9 = 3².
2. Из 2ˣ = 2³ получаем x = 3, а из 3ʸ = 3² — y = 2.
3. Подставим найденные значения: оба исходных равенства верны.

Ответ: (3; 2).

Задача 2. Решить систему: 2ˣ + 2ʸ = 10; x − y = 1. Второе уравнение показывает, что показатели отличаются на единицу. Поэтому выразим x через y и перепишем 2ˣ через 2ʸ. Так система сведётся к уравнению с одной степенью.

1. Из x − y = 1 получаем x = y + 1.
2. Тогда 2ˣ = 2ʸ⁺¹ = 2 · 2ʸ. Подставим в первое уравнение: 2 · 2ʸ + 2ʸ = 10.
3. Сложим подобные слагаемые: 3 · 2ʸ = 10, значит 2ʸ = 10/3. Отсюда y = log₂(10/3), а x = 1 + log₂(10/3). Значение 10/3 положительно, поэтому такое значение y существует.
4. Проверка: при найденном y сумма равна 3 · 2ʸ = 10, а x − y = 1.

Ответ: (1 + log₂(10/3); log₂(10/3)).

Задача 3. Решить систему неравенств: 2ˣ > 4; (1/3)ˣ ≥ 1/9. Здесь основания ведут себя по-разному: 2 больше 1, а 1/3 находится между 0 и 1. Решим каждое условие отдельно и только затем совместим ответы. Такой порядок не позволит перепутать направление знака.

1. Первое неравенство: 2ˣ > 2². Функция 2ˣ возрастает, поэтому x > 2.
2. Во втором неравенстве 1/9 = (1/3)². Функция (1/3)ˣ убывает, поэтому из (1/3)ˣ ≥ (1/3)² следует x ≤ 2.
3. Пересечём условия x > 2 и x ≤ 2. Общих значений нет.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

Сравнивают показатели, не проверив основание. Часто правило для основания больше 1 автоматически переносят на все степени. При 0 < a < 1 функция убывает, поэтому знак сравнения меняется на противоположный. Проверяйте основание до перехода от степеней к показателям.

Решают только одно условие системы. Это случается, когда найденное уравнение уже кажется решённым или одно неравенство выглядит главным. Но значения должны подходить каждому условию одновременно. Проверка подстановкой во всю систему сразу выявляет такую ошибку.

Забывают, что новая переменная положительна. После замены t = aˣ иногда принимают любой корень полученного уравнения за допустимый. Однако при положительном основании a значение aˣ всегда больше нуля. Укажите ограничение t > 0 и отбросьте неподходящие корни до возвращения к исходной переменной.

Объединяют множества решений неравенств вместо пересечения. Объединение оставляет значения, подходящие хотя бы одному условию, тогда как система требует выполнить все условия. Ошибка возникает из-за смешения правил для слов «или» и «и». Для системы проверьте, какие значения входят в каждый промежуток, и оставьте только общую часть.

Связь с другими темами

Для решения нужны свойства степеней и знание показательной функции: её основание положительно и не равно 1, а монотонность зависит от основания. Системы показательных уравнений используют знакомые алгебраические приёмы, например подстановку и замену переменных. Системы неравенств опираются на пересечение множеств решений. Эти способы пригодятся при изучении логарифмов, более сложных показательных систем и задач с параметрами.

Что запомнить

• Основание показательной функции положительно и не равно 1.
• При основании больше 1 показательная функция возрастает.
• При основании от 0 до 1 показательная функция убывает.
• В системе решение должно удовлетворять каждому входящему в неё условию.
• Решение системы неравенств — пересечение решений отдельных неравенств.
• После замены степенных выражений нужно проверить ограничения и вернуться к исходным неизвестным.