§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Система показательных уравнений — это несколько уравнений с выражениями, в которых переменная находится в показателе степени, и все они должны выполняться одновременно. Решением служит общий набор значений неизвестных, например пара (x, y), подходящая к каждому уравнению. Это определение помогает не останавливаться на решении отдельных уравнений, а искать значения, общие для всей системы.

Система показательных неравенств — несколько неравенств с показательными выражениями, которым должны удовлетворять одни и те же значения переменных. Например, пара чисел подходит системе, только если при её подстановке верно каждое неравенство. Такое понимание нужно, чтобы правильно объединять полученные ограничения на переменные.

Замена переменной — приём, при котором повторяющееся выражение обозначают новой переменной. Например, если в системе часто встречается 2ˣ, можно записать t = 2ˣ и решать уравнения относительно t. Замена упрощает вид системы, но допустимые значения новой переменной нужно сохранить: здесь t > 0.

Как это устроено

Система требует, чтобы все её условия выполнялись для одной и той же пары чисел. Поэтому нужно найти пересечение решений отдельных уравнений или неравенств: оставить только общие значения. Объединение, наоборот, оставило бы пары, подходящие хотя бы к одному условию, а этого недостаточно.

Если обе части уравнения можно представить степенями с одинаковым основанием a, где a > 0 и a ≠ 1, их показатели можно приравнять. Причина в том, что функция aˣ взаимно однозначна: разным показателям соответствуют разные значения степени. Например, из 2ᵘ = 2ᵛ следует u = v, а исходное показательное уравнение превращается в более простое соотношение.

Замена вида aˣ = t упрощает систему, потому что вместо сложных степеней появляются обычные переменные. Но при a > 0 значение aˣ всегда положительно, каким бы ни было действительное x. Поэтому обязательно записывают t > 0; если забыть это ограничение, можно получить значения t, которым не соответствует ни одно x.

Если одно уравнение системы простое, из него можно выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение во второе уравнение. Так двухпеременная задача сводится к уравнению с одной переменной. Найдя значения, нужно восстановить вторую переменную и подставить каждую пару в оба исходных уравнения, чтобы убедиться, что преобразования не привели к ошибке.

Для неравенств используют монотонность показательной функции — то есть её возрастание или убывание. При a > 1 большему показателю соответствует большее значение, поэтому направление сравнения сохраняется: aᵘ < aᵛ равносильно u < v. При 0 < a < 1 функция убывает, и направление меняется: aᵘ < aᵛ равносильно u > v.

Приёмы решения систем показательных уравнений и неравенств

Сначала выберите приём, который упрощает именно вашу систему: подходящее основание, выражение переменной или повторяющуюся степень. При решении неравенств отдельно определите, возрастает или убывает показательная функция. В конце соедините условия системы и проверьте результат подстановкой.

Разбор задач

1. Решить систему: 2ˣ + 2ʸ = 10; x + y = 3.

Второе уравнение позволяет выразить y через x, поэтому система сведётся к одному уравнению. Подставим y = 3 − x в первое уравнение. Затем найдём x и восстановим y.

1. Из x + y = 3 получаем y = 3 − x.
2. Подставляем: 2ˣ + 2³⁻ˣ = 10. Обозначим t = 2ˣ, тогда t > 0, а 2³⁻ˣ = 8/t. Получаем t + 8/t = 10, или t² − 10t + 8 = 0.
3. Корни уравнения: t = 5 ± √17. Оба числа положительны, поэтому x = log₂(5 ± √17), а y = 3 − x.
4. Подстановка в первое уравнение даёт t + 8/t = 10 по полученному квадратному уравнению, а сумма x + y равна 3.

Ответ: (x, y) = (log₂(5 + √17), 3 − log₂(5 + √17)) или (log₂(5 − √17), 3 − log₂(5 − √17)).

2. Решить систему: 2ˣ + 2ʸ = 6; x − y = 1.

Разность показателей во втором уравнении сразу связывает степени 2ˣ и 2ʸ. Из x = y + 1 следует 2ˣ = 2ʸ⁺¹ = 2 · 2ʸ. Теперь первое уравнение становится линейным относительно выражения 2ʸ.

1. Из x − y = 1 получаем x = y + 1.
2. Подставляем в первое уравнение: 2 · 2ʸ + 2ʸ = 6, значит 3 · 2ʸ = 6.
3. Тогда 2ʸ = 2, откуда y = 1. Следовательно, x = 2.
4. Проверяем: 2² + 2¹ = 6 и 2 − 1 = 1.

Ответ: (2, 1).

3. Решить систему: 2ˣ + 2ʸ = 10; 2ˣ⁺ʸ = 16.

Здесь повторяются степени 2ˣ и 2ʸ, поэтому удобно заменить их новыми переменными. При такой замене второе уравнение превращается в произведение этих переменных. После решения полученной системы нужно вернуться к x и y и учесть, что обе новые переменные положительны.

1. Введём u = 2ˣ и v = 2ʸ, где u > 0 и v > 0. Тогда первое уравнение имеет вид u + v = 10.
2. По свойству степеней 2ˣ⁺ʸ = 2ˣ · 2ʸ, поэтому второе уравнение даёт uv = 16.
3. Числа u и v — корни уравнения z² − 10z + 16 = 0. Его корни 2 и 8, поэтому возможны пары (u, v) = (2, 8) и (8, 2).
4. Из 2ˣ = 2 и 2ʸ = 8 получаем (x, y) = (1, 3); при перестановке u и v получаем (3, 1). Обе пары проверяются в исходной системе.

Ответ: (1, 3), (3, 1).

Типичные ошибки

Объединение вместо пересечения. Иногда оставляют все пары, которые подходят хотя бы к одному уравнению. Так происходит, если забыть, что условия системы должны выполняться одновременно. Проверка простая: подставьте каждую пару во все уравнения или неравенства, а не только в одно.

Приравнивание показателей без одинакового основания. Из aᵘ = bᵛ нельзя сразу заключить, что u = v: основания могут быть разными. Ошибку допускают, перенося правило о степенях на любые выражения. Сначала приведите обе части к одному основанию a > 0, a ≠ 1 или отдельно обоснуйте другой переход.

Забытое условие положительности при замене. После обозначения aˣ = t иногда решают систему для любых t, включая ноль и отрицательные числа. Такие значения не соответствуют степени с положительным основанием и действительным показателем. Запишите t > 0 сразу при введении замены и отбросьте несовместимые с ним корни.

Неизменённый знак при основании между 0 и 1. Убывающую функцию могут ошибочно принять за возрастающую и сохранить направление неравенства. Это приводит к противоположному условию на показатели. Перед сравнением установите, больше основание 1 или меньше, и проверьте себя примером: при 0 < a < 1 увеличение показателя уменьшает степень.

Связь с другими темами

Для решения таких систем нужны свойства степеней, определение показательной функции и знание её монотонности. Подстановка и выражение одной переменной опираются на способы решения систем линейных уравнений и неравенств. Эти приёмы развивают умение преобразовывать выражения и учитывать ограничения на переменные. Позже они пригодятся при решении более сложных показательных систем и исследовании функций с помощью графиков.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять всем её условиям одновременно.
• При основании a > 1 показательная функция возрастает.
• При 0 < a < 1 показательная функция убывает.
• При замене aˣ = t обязательно учитывайте t > 0.
• После решения преобразованной системы проверьте найденные значения в исходной.
• Учитывайте допустимые значения переменных на каждом шаге.