§ 12. Показательные уравнения

Определения и обозначения

Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, например 2ˣ = 8. В уравнении с переменной в основании, например x² = 9, неизвестное стоит на месте основания, а показатель задан. Это различие помогает выбрать свойства и способы решения: показательные уравнения обычно изучают через свойства показательной функции.

Корень показательного уравнения — значение переменной, при котором обе части уравнения определены и равны. Например, если после решения получено x = 2, нужно убедиться, что подстановка этого числа действительно обращает исходное равенство в верное. Определение корня напоминает, что одних преобразований недостаточно: их результат должен подходить исходному уравнению.

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. При решении удобно переходить от сложного уравнения к более простому, но каждое преобразование должно сохранять все решения и не добавлять новых. Если равносильность не гарантирована, найденные значения проверяют в исходном уравнении.

Замена переменной — приём, при котором повторяющееся выражение обозначают новой переменной, чтобы упростить уравнение. Например, в выражении 3²ˣ − 10 · 3ˣ + 9 можно принять t = 3ˣ и получить квадратное уравнение. Замена позволяет применить знакомые способы решения, но после неё нужно учесть ограничения на новую переменную и вернуться к исходной.

Как это устроено

При основании a > 1 показательная функция aˣ возрастает: большему показателю соответствует большее значение. При 0 < a < 1 она убывает, но тоже остаётся взаимно однозначной: каждому значению функции соответствует только один показатель. Поэтому при одинаковом допустимом основании равенство aᵘ = aᵛ возможно только тогда, когда u = v. Именно это свойство позволяет заменить уравнение степеней более простым уравнением для показателей.

Если обе части уравнения удаётся представить степенями одного основания, их показатели можно приравнять. Например, 8 можно записать как 2³, и равенство 2ˣ = 8 превращается в 2ˣ = 2³. Основание при таком переходе должно быть положительным и не равным 1, иначе обычное свойство взаимной однозначности не сработает: при основании 1, например, степени равны при любых показателях. Приведение к общему основанию обычно проще и надёжнее других приёмов.

Если выразить обе части степенями одного основания нельзя, иногда помогает логарифмирование. Логарифм — показатель, в который нужно возвести основание, чтобы получить заданное число; например, log₂ 8 = 3. Основание логарифма выбирают положительным и отличным от 1, иначе логарифм не задаёт корректную обратную операцию к показательной функции. Аргументы, к которым применяют логарифм, также должны быть положительными, поэтому это проверяют до преобразования.

Когда в уравнении повторяются степени одного выражения, вводят новую переменную, например t = aˣ. Тогда степени a²ˣ и a³ˣ превращаются соответственно в t² и t³, и вместо показательного уравнения часто получается многочленное. Значение t обязательно ограничено условием t > 0, потому что степень положительного основания всегда положительна. Решив уравнение относительно t, оставляют лишь допустимые значения и из равенства aˣ = t находят x.

Некоторые уравнения можно упростить, вынеся общий множитель или разложив выражение на множители. Например, если получено произведение двух выражений, равное нулю, достаточно приравнять к нулю каждый множитель по отдельности. Такой приём полезен, когда в уравнении есть повторяющиеся степени или близкие выражения, но после преобразования следует проверить найденные значения в исходной записи. Проверка особенно нужна, если на каком-либо шаге уравнение умножали или делили на выражение с переменной.

Основные способы решения показательных уравнений

Сначала определите, есть ли общий приём: одинаковое основание, повторяющаяся степень или возможность логарифмировать. Затем выполните соответствующее действие и проверьте ограничения на переменную. Таблица помогает быстро сопоставить вид уравнения и подходящий способ.

Разбор задач

В первых двух примерах видно, как выбирают способ по строению уравнения: в одном случае основания легко сделать одинаковыми, в другом повторяются степени 3ˣ. В третьем примере удобно заменить взаимно обратные степени на выражение с t и 1/t. Во всех случаях учитываем ограничения и записываем ответ в исходной переменной.

1. Решить уравнение 2ˣ⁺¹ = 8

1. Замечаем, что 8 — это степень числа 2: 8 = 2³. Обе части теперь имеют одинаковое основание.
2. Получаем 2ˣ⁺¹ = 2³. Поскольку основание 2 положительно и не равно 1, приравниваем показатели: x + 1 = 3.
3. Решаем линейное уравнение: x = 2. Проверка даёт 2²⁺¹ = 2³ = 8, значит, найденное значение подходит.

Ответ: x = 2.

2. Решить уравнение 3²ˣ − 10 · 3ˣ + 9 = 0

1. В уравнении повторяется 3ˣ, а 3²ˣ = (3ˣ)². Обозначим t = 3ˣ; тогда исходное уравнение превращается в t² − 10t + 9 = 0.
2. Разложим квадратный трёхчлен: (t − 1)(t − 9) = 0. Получаем t = 1 или t = 9; оба значения допустимы, потому что t = 3ˣ > 0.
3. Возвращаемся к x. Из 3ˣ = 1 следует x = 0, а из 3ˣ = 9 = 3² следует x = 2. Подстановка каждого значения в исходное уравнение даёт верное равенство.

Ответ: x = 0; x = 2.

3. Решить уравнение 2ˣ + 2⁻ˣ = 5

1. Положим t = 2ˣ, поэтому t > 0. Тогда 2⁻ˣ = 1/2ˣ = 1/t, и уравнение принимает вид t + 1/t = 5.
2. Умножим обе части на t. Это допустимо, поскольку t > 0 и, значит, не равно нулю. Получаем t² − 5t + 1 = 0.
3. Решаем квадратное уравнение: t = (5 ± √21)/2. Оба значения положительны, потому что √21 < 5, следовательно, оба допустимы.
4. Из 2ˣ = (5 + √21)/2 или 2ˣ = (5 − √21)/2 находим x = log₂((5 + √21)/2) или x = log₂((5 − √21)/2). Проверка допустимости обеспечена положительностью найденных значений t.

Ответ: x = log₂((5 + √21)/2); x = log₂((5 − √21)/2).

Типичные ошибки

Приравнивают показатели при разных основаниях. Равенство 2ˣ = 3ˣ само по себе не означает, что показатели можно приравнять по свойству степеней с общим основанием. Ошибка возникает, когда забывают условие этого свойства; сначала приведите степени к одному основанию или примените другой способ. Для проверки укажите, какое именно основание стало общим.

Забывают условие t > 0 при замене t = aˣ. После решения уравнения относительно t могут появиться нулевые или отрицательные корни, но ни один из них не может быть значением положительной степени. Такое решение часто сохраняют, если считают, что замена не меняет область значений. Проверяйте каждый корень t на условие t > 0 до возвращения к x.

Логарифмируют недопустимые выражения. Логарифмирование нельзя выполнить, если его основание не положительно или равно 1, а аргумент должен быть положительным. Ошибка возникает, когда применяют знакомые формулы, не проверяя, определены ли логарифмы. Перед преобразованием отдельно проверьте основание и каждую часть, от которой берёте логарифм.

Не проверяют корни в исходном уравнении. Некоторые действия могут нарушить равносильность, например умножение на выражение с переменной, которое может быть нулём. В результате появляются посторонние корни — значения, удовлетворяющие преобразованному уравнению, но не исходному. Подставьте каждый найденный ответ в исходную запись и исключите значения, не обращающие её в верное равенство.

Связь с другими темами

Для решения показательных уравнений нужны свойства степеней, определение показательной функции и понимание её монотонности. Эти знания объясняют, почему равные степени с одним основанием имеют равные показатели. Без них легко применить правило не к тому случаю.

Замена переменной часто приводит к квадратному уравнению, а преобразование выражений может потребовать разложения многочлена на множители. Поэтому важно уметь решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены. Эти навыки превращают сложную запись со степенями в знакомую алгебраическую задачу.

Показательные уравнения подготавливают к изучению логарифмических уравнений, поскольку логарифм позволяет находить неизвестный показатель. Те же зависимости описывают модели роста и убывания, например изменение численности или величины вклада. Умение решать уравнения помогает находить момент, когда модель достигает заданного значения.

Что запомнить

• В показательной функции основание положительно и не равно 1.
• Степени с одинаковым допустимым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
• При замене t = aˣ обязательно учитывают условие t > 0.
• Логарифмирование допустимо только при положительных аргументах и основании логарифма больше нуля и не равном 1.
• После решения уравнения с заменой возвращаются к исходной переменной.
• Корни проверяют в исходном уравнении, особенно если преобразования могли нарушить равносильность.