"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Такие уравнения решают, используя определение логарифма и его свойства, но каждый шаг начинают с проверки допустимых значений. Главный порядок действий: составить ОДЗ, преобразовать уравнение, найти кандидатов в корни и проверить их в исходном условии. Так можно не принять за ответ значение, при котором логарифм не определён.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма или в его основании. Например, в log₂(x − 1) = 3 переменная входит в аргумент, а в logₓ 8 = 2 — в основание. Это отличает такие уравнения от показательных, где переменная находится в показателе степени, например 2ˣ = 8. Различие подсказывает, какие правила использовать при решении.
ОДЗ, или область допустимых значений, — множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. Для каждого логарифма требуется положительный аргумент, а основание должно быть положительным и не равняться 1. Например, в log₂(x − 1) условие на аргумент даёт x > 1. ОДЗ нужна, чтобы сразу исключить значения, для которых исходное уравнение не определено.
Равносильные преобразования — действия, после которых множество решений уравнения не меняется. Например, равенство логарифмов с одним и тем же допустимым основанием можно заменить равенством аргументов. Ограничения ОДЗ при этом сохраняют: преобразование может быть верным только для значений, где исходные логарифмы определены. Поэтому их учитывают на каждом шаге, а не только в конце.
Посторонний корень — значение, которое появилось среди результатов преобразований, но не удовлетворяет исходному уравнению или его ОДЗ. Такое бывает, если при решении использовали равенство, справедливое лишь при дополнительных условиях, а сами условия не проверили. Например, найденное значение может сделать аргумент логарифма нулём или отрицательным. Проверка в исходном уравнении помогает не включить его в ответ.
Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм существует не при любых числах. Его аргумент должен быть положительным; основание тоже должно быть положительным, но не равняться 1. Если основание зависит от переменной, эти условия становятся частью задачи наравне с ограничениями на аргументы. Записывая их первыми, мы заранее отделяем возможные решения от значений, для которых уравнение не имеет смысла.
Уравнение logₐ f(x) = b можно заменить равенством f(x) = aᵇ, поскольку логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить f(x). Эта замена верна при a > 0 и a ≠ 1, а аргумент f(x) должен быть положительным. Например, если log₂(x − 1) = 3, то x − 1 = 2³. Условия на основание и аргумент нужны, чтобы переход опирался на определение логарифма, а не создавал решения вне области его смысла.
Если logₐ f(x) = logₐ g(x), можно приравнять аргументы: f(x) = g(x). Причина в том, что при допустимом основании функция логарифма принимает каждое значение только для одного аргумента. У этого правила есть обязательные условия: основание у логарифмов должно быть одинаковым, положительным и не равным 1, а оба аргумента — положительными. При разных основаниях равенство логарифмов само по себе не означает равенство аргументов.
Свойства логарифмов позволяют превратить несколько выражений в одно: например, сумму логарифмов с одинаковым основанием — в логарифм произведения аргументов. Это удобно, когда после объединения получается простое уравнение. Но свойство применимо, только если аргументы положительны; иначе исходные логарифмы не определены. Поэтому сначала составляют соответствующую часть ОДЗ и лишь затем объединяют выражения.
После преобразований решают полученное уравнение и проверяют кандидатов в исходном условии. Проверка нужна потому, что на промежуточном шаге могли забыть о знаке аргумента, а решение упрощённого уравнения может выйти за границы ОДЗ. Значение, при котором хотя бы один логарифм исходной записи не определён, отбрасывают. Корень, удовлетворяющий и уравнению, и ОДЗ, включают в ответ.
| Вид уравнения | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|
| logₐ f(x) = b | Перейти к f(x) = aᵇ | a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0 |
| logₐ f(x) = logₐ g(x) | При одинаковом основании приравнять аргументы | Основание допустимо, оба аргумента положительны |
| Уравнение с несколькими логарифмами | Применить свойства логарифмов и свести к одному логарифму | Положительность каждого исходного аргумента |
| Уравнение, допускающее замену | Ввести новую переменную и после решения вернуться к исходной | ОДЗ и допустимые значения новой переменной |
Сначала определите, к какому виду относится уравнение, а затем выберите соответствующий приём. Третий столбец помогает не потерять условия, без которых преобразование или найденный корень недопустим. Даже если решение получилось коротким, завершите его проверкой в исходной записи.
Логарифм определён, только если его аргумент положителен, поэтому сначала найдём ОДЗ. Затем используем определение логарифма: равенство означает, что основание 2 надо возвести в третью степень, чтобы получить x − 1. Найденное значение останется проверить по ограничению, заданному аргументом.
Ответ: x = 9.
Основания логарифмов одинаковы и равны 3, а это допустимое основание. Значит, при положительных аргументах можно приравнять аргументы. Сначала установим, где положительны оба выражения под логарифмами, а после решения сверим корень с найденными ограничениями.
Ответ: x = 3.
Сумму логарифмов можно объединить, потому что их основания совпадают. Но прежде нужно проверить каждый аргумент: это одновременно гарантирует смысл исходного уравнения и законность применения свойства суммы логарифмов. После объединения получится уравнение для произведения, у которого могут быть два корня; ОДЗ подскажет, какой из них подходит.
Ответ: x = 3.
Не записать ОДЗ — значит оставить в решении значения, при которых аргумент логарифма может быть нулём или отрицательным. Эту ошибку допускают, когда сразу переходят к алгебраическим действиям и забывают, что исходное выражение имеет ограничения. Проверяйте себя: перед решением выпишите условие для каждого аргумента и, если нужно, для основания. В конце сравните найденные корни с этими условиями.
Приравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями нельзя: такое правило работает только при одинаковом допустимом основании. Ошибка возникает из-за того, что равенство аргументов действительно можно использовать для получения равных логарифмов, но обратный вывод требует одинакового основания. Перед приравниванием выпишите основания рядом и сравните их. Если они различаются, ищите другой способ решения.
Свойства логарифмов применяют только к логарифмам с подходящими основаниями и положительными аргументами. Если объединить выражения без проверки знаков, можно получить преобразование из записи, которая изначально не имеет смысла. Эту ошибку допускают, потому что формулы свойств кажутся обычными правилами действий с выражениями. Проверяйте каждый исходный аргумент до применения свойства и сохраняйте полученные ограничения.
Если не проверить корни в исходном уравнении, среди ответов может остаться постороннее значение. Оно может удовлетворять преобразованному уравнению, но нарушать ОДЗ или не выполнять исходное равенство. Обычно об этом забывают после правильных вычислений, считая их завершением решения. Подставьте каждый кандидат в исходную запись и убедитесь, что все логарифмы определены и равенство верно.
Для решения нужны определение логарифма, его свойства и условия существования логарифмического выражения. Оттуда берутся переход к показательному равенству и правила объединения логарифмов. Также пригодятся навыки решения показательных, линейных и квадратных уравнений: они часто возникают после преобразований. Неравенства помогают составлять ОДЗ и отбирать допустимые корни. Эти приёмы понадобятся в смешанных показательно-логарифмических уравнениях и при изучении логарифмических неравенств.
Почему при решении логарифмического уравнения нужно начинать с ОДЗ?
Логарифм определён только при положительном аргументе, а основание должно быть положительным и не равняться 1. ОДЗ сразу исключает значения, при которых исходное уравнение не имеет смысла.
Когда можно приравнять аргументы двух логарифмов?
Когда логарифмы имеют одинаковое основание, допустимое для логарифма: оно положительно и не равно 1. Тогда равенство логарифмов равносильно равенству их аргументов, при условии что оба аргумента положительны.
Как решить уравнение, в котором логарифм равен числу?
Уравнение logₐ f(x) = b по определению логарифма заменяют равенством f(x) = aᵇ. Перед этим проверяют, что a > 0, a ≠ 1, и учитывают условие f(x) > 0.
Можно ли объединять сумму логарифмов в один логарифм?
Да, если логарифмы имеют одинаковое основание и их аргументы положительны: logₐ u + logₐ v = logₐ(uv). Условия положительности нужно записать до преобразования, иначе можно потерять ограничения исходного уравнения.
Зачем проверять корни после решения уравнения?
Преобразования могут привести к значениям, не входящим в ОДЗ исходного уравнения. Подстановка кандидатов в исходное условие позволяет исключить такие посторонние корни.
Логарифмические уравнения
