§ 20. Логарифмические неравенства

Определения и обозначения

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, log₂(x − 1) > 3 — логарифмическое неравенство, потому что x находится в аргументе. Его решение — все значения неизвестной, при которых выражение определено и неравенство верно.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений неизвестной, при которых все логарифмы имеют смысл. Для logₐ f(x) необходимо, чтобы a > 0, a ≠ 1 и f(x) > 0. ОДЗ записывают до преобразований, чтобы не включить в ответ значения, при которых исходное выражение не существует.

Основное обозначение logₐ b читают «логарифм числа b по основанию a»; оно означает показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Это определение позволяет заменять логарифмические равенства и сравнения степенными, но только при соблюдении условий на основание и аргумент.

Как это устроено

Главное правило решения связано с тем, как меняется функция y = logₐ x. При a > 1 она возрастает: большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Поэтому для положительных f(x) и g(x) неравенство logₐ f(x) > logₐ g(x) равносильно f(x) > g(x), и знак сохраняется. Если основание одно и то же, логарифмы можно сравнить по их аргументам.

При 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает: чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма. Поэтому при переходе от logₐ f(x) > logₐ g(x) к сравнению аргументов знак меняется: получается f(x) < g(x). Этот случай легко упустить, если помнить только само правило, но не представлять поведение функции. Для неравенств со знаком «меньше» рассуждение такое же: при убывании знак тоже меняется.

Если с одной стороны стоит число, его удобно представить логарифмом с тем же основанием: c = logₐ(aᶜ). Тогда можно сравнить аргументы, сохраняя или меняя знак в зависимости от основания. Например, при a > 1 неравенство logₐ f(x) > c превращается в f(x) > aᶜ, а при 0 < a < 1 — в f(x) < aᶜ. При этом условие f(x) > 0 всё равно обязательно.

Если основание зависит от x, нельзя заранее выбрать одно из двух правил: для одних x оно может быть больше 1, для других — меньше 1. Тогда рассматривают отдельные случаи, добавляя к каждому условия на основание, аргумент и исходное неравенство. После решения всех полученных неравенств результаты объединяют и пересекают с ОДЗ. Так проверка условий становится частью решения, а не формальностью в конце.

Сравнение логарифмов

Сначала определите, к какой строке таблицы относится основание, и проверьте допустимость аргументов. Затем переносите сравнение на аргументы: оставьте знак при a > 1 или измените его при 0 < a < 1. Если основание содержит x, сначала разделите решение на случаи.

Разбор задач

Решим неравенство log₁⁄₃(x + 2) ≥ log₁⁄₃(4 − x). Здесь логарифмы имеют одинаковое основание, но оно находится между 0 и 1, поэтому функция убывает. Значит, при сравнении аргументов знак изменится на противоположный. До этого перехода нужно выписать условия существования обоих логарифмов.

1. Найдём ОДЗ: x + 2 > 0 и 4 − x > 0. Отсюда x > −2 и x < 4, то есть −2 < x < 4. Эти ограничения сохраняются для всего решения.

2. Сравним логарифмы по аргументам. Так как 0 < ⅓ < 1, функция убывает, поэтому из log₁⁄₃(x + 2) ≥ log₁⁄₃(4 − x) следует x + 2 ≤ 4 − x. Именно смена знака отличает этот шаг от случая с основанием больше 1.

3. Решим полученное линейное неравенство: x + 2 ≤ 4 − x, значит 2x ≤ 2, откуда x ≤ 1. Это условие пока не учитывает ОДЗ, поэтому его нельзя сразу считать окончательным ответом.

4. Пересечём x ≤ 1 с промежутком −2 < x < 4. Получаем −2 < x ≤ 1. Граничное значение x = −2 не подходит, так как тогда первый аргумент равен нулю; значение x = 1 допустимо.

Ответ: x ∈ (−2; 1]. Проверка крайних значений помогает заметить разницу: −2 исключается условиями существования логарифма, а 1 входит в ответ, поскольку оба аргумента при нём положительны. Решение получено пересечением результата обычного неравенства с ОДЗ.

Типичные ошибки

• Не записывают ОДЗ. Так могут попасть в ответ значения, при которых аргумент равен нулю или отрицателен. Ошибку допускают, потому что после преобразования следят только за полученным неравенством. Проверяйте каждый ответ подстановкой в аргументы исходных логарифмов.

• Не меняют знак при основании от 0 до 1. Правило для возрастающей функции по ошибке применяют к убывающей. Перед сравнением аргументов отдельно отметьте, выполняется ли a > 1 или 0 < a < 1. Полезно проверить себя на простых числах: log₁⁄₂ 2 меньше log₁⁄₂ 1.

• Считают переменное основание постоянным. Если основание зависит от x, его тип может меняться, поэтому одно правило не подходит для всех значений. Разбейте решение на случаи a > 1 и 0 < a < 1 и включите эти условия в систему. В конце проверьте, что случаи покрывают всю ОДЗ и не содержат a = 1.

Связь с другими темами

Для решения логарифмических неравенств нужны свойства степеней и определение логарифма: число можно представить как степень основания. Правила перехода к аргументам объясняются графиком и монотонностью функции, то есть тем, как меняется её значение при увеличении x. После логарифмических преобразований часто остаются линейные, квадратные или дробно-рациональные неравенства, которые решают знакомыми способами. В конце, как и в задачах с корнями и дробями, обязательно учитывают область допустимых значений.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ: основание положительно, не равно 1, аргумент положителен.
• При основании a > 1 функция возрастает, знак при сравнении аргументов сохраняется.
• При 0 < a < 1 функция убывает, знак при сравнении аргументов меняется.
• Если основание зависит от x, разбери случаи и учти условия каждого из них.
• Окончательный ответ пересекай с ОДЗ.