12. Угол поворота

Определения и обозначения

Угол поворота — угол, заданный вращением начальной стороны вокруг вершины до конечной стороны. При этом учитываются направление движения и число полных оборотов. Поэтому такой угол может быть больше 360° или отрицательным.

Начальная сторона — луч, из положения которого начинается поворот. Обычно на координатной плоскости её совмещают с положительной полуосью Ox, чтобы удобно отсчитывать углы. От неё зависит исходное положение движения.

Конечная сторона — луч, в положение которого приходит начальная сторона после поворота. Она показывает итоговое направление, но сама по себе не сообщает, сколько оборотов было сделано. Поэтому одному лучу соответствуют бесконечно многие углы.

Радианная мера угла — отношение длины дуги единичной окружности к её радиусу. Для окружности радиуса 1 числовое значение угла равно длине соответствующей дуги. Полный оборот имеет меру 2π радиан.

Как это устроено

Одного положения конечной стороны недостаточно, чтобы полностью задать поворот. Например, луч можно получить, повернув начальную сторону на 90° против часовой стрелки или на 450° в том же направлении. Конечная сторона совпадёт, но второй поворот содержит дополнительный полный оборот.

Чтобы различать направления, положительным договорились считать вращение против часовой стрелки. При движении по часовой стрелке угол получает отрицательный знак: такой знак заменяет словесное описание направления числом. Например, −60° означает поворот на 60° по часовой стрелке.

После полного оборота луч возвращается в прежнее положение, поэтому добавление 360° не меняет конечную сторону. В радианах это добавление 2π. Значит, углы α и α + 2πk, где k ∈ Z, имеют одну конечную сторону, но соответствуют разному числу оборотов.

Градусы и радианы связаны тем, что полный оборот равен одновременно 360° и 2π радианам. Поэтому α° = απ/180 радиан. Например, 180° = π радиан, а 90° = π/2 радиан.

Положение конечной стороны определяют, сведя угол к одному обороту, то есть к промежутку от 0 до 2π. Затем используют четверти координатной плоскости: от 0 до π/2 — I четверть, от π/2 до π — II, от π до 3π/2 — III, от 3π/2 до 2π — IV. Для отрицательного угла удобно прибавлять 2π, пока не получится неотрицательная величина меньше 2π.

Основные характеристики угла поворота

Таблица помогает быстро определить знак по направлению вращения и вспомнить величину полного оборота. Последняя строка используется при переводе градусов в радианы. Формула с целым k описывает все углы, имеющие одну и ту же конечную сторону.

Разбор задач

Задача 1

Начальную сторону Ox повернули на 120° против часовой стрелки, а затем на −π/3 радиан. Нужно определить знаки углов и положения конечных сторон. Сначала приведём значения к одной мере.

1. 120° — положительный угол, потому что поворот идёт против часовой стрелки.
2. −π/3 радиан = −60°, поэтому это отрицательный поворот по часовой стрелке.
3. Угол 120° лежит во II четверти. Угол −60° после добавления 360° превращается в 300°, значит, его конечная сторона находится в IV четверти.

Ответ: первый угол положительный, его конечная сторона во II четверти; второй угол отрицательный, его конечная сторона в IV четверти.

Задача 2

Нужно записать все углы с той же конечной стороной, что и 5π/6, а затем выбрать угол из промежутка (−2π; 0). Все такие углы получают добавлением полного оборота.

1. Общий вид: 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
2. Проверим отрицательные значения: при k = −1 получаем 5π/6 − 2π = −7π/6.
3. Число −7π/6 находится между −2π и 0, поэтому оно подходит.

Ответ: все углы имеют вид 5π/6 + 2πk, k ∈ Z; из указанного промежутка подходит −7π/6.

Задача 3

Конечная сторона проходит через точку (−√3/2; 1/2) единичной окружности. Первая координата отрицательна, а вторая положительна, значит, точка расположена во II четверти.

1. Координаты соответствуют cos α = −√3/2 и sin α = 1/2.
2. Опорный угол равен π/6, а во II четверти основной угол равен π − π/6 = 5π/6.
3. Все углы получают добавлением полного оборота: 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: наименьший неотрицательный угол — 5π/6; все углы: 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Считать положительным любой угол, записанный без знака, неверно: знак связан с направлением вращения. Ошибку допускают, когда смотрят только на число; проверка проста — нужно спросить, куда двигался луч.

Если забыть о полных оборотах, можно решить, что α и α + 2π задают разные лучи. Они имеют одну конечную сторону, поэтому всегда проверяйте, не отличаются ли углы на 2πk.

Нельзя смешивать градусы и радианы: 180° — это π радиан, а не 180 радиан. Перед вычислениями приведите все величины к одной мере.

Четверть определяют не по абсолютной величине угла, а после сведения к одному обороту. Для отрицательных и больших углов сначала прибавьте или вычтите 2π, затем сравните результат с границами четвертей.

Связь с другими темами

Для изучения угла поворота нужны координатная плоскость, её четверти, градусная мера угла и представление о длине окружности. Эти знания позволяют связывать направление луча с числовой величиной.

Понятие угла поворота становится основой определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Позже оно помогает понять периодичность тригонометрических функций и выполнять преобразования их графиков.

Что запомнить

• Положительное направление поворота — против часовой стрелки.
• Поворот по часовой стрелке задаётся отрицательным углом.
• Полный оборот равен 360° или 2π радианам.
• Углы α и α + 2πk имеют одну конечную сторону.
• Градусная и радианная меры связаны формулой α° = απ/180 радиан.
• Для определения четверти угол удобно привести к промежутку от 0 до 2π.
• Число полных оборотов является частью информации об угле поворота.