"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Переход к новому основанию позволяет заменить логарифм отношением двух логарифмов, вычисленных с одинаковым основанием: logₐ b = log꜀ b / log꜀ a. Это нужно, когда калькулятор не умеет считать логарифм с нужным основанием, а также при упрощении выражений и решении уравнений. Для вычислений обычно выбирают десятичное основание 10 или натуральное основание e; при этом все основания и аргументы должны быть допустимыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм logₐ b — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b: если aˣ = b, то x = logₐ b. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Определение имеет смысл при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Эти условия проверяют до вычислений и при решении уравнений, чтобы не использовать логарифм там, где он не определён.
Переход к новому основанию заменяет logₐ b отношением логарифмов с одним и тем же основанием c: logₐ b = log꜀ b / log꜀ a. При этом c > 0 и c ≠ 1, а исходные a и b также должны быть допустимыми. Смысл перехода в том, что значение логарифма не меняется, а запись становится удобнее для вычисления или преобразования. Например, можно использовать калькулятор, который считает только логарифмы по основанию 10 или e.
Если для вычислений выбрано основание 10, получают logₐ b = lg b / lg a; если выбрано основание e — logₐ b = ln b / ln a. Здесь lg — десятичный логарифм, а ln — натуральный логарифм. Эти записи являются частными случаями общей формулы, а не отдельными правилами. Они позволяют получить численное значение logₐ b с помощью стандартных функций калькулятора.
Пусть x = logₐ b, тогда по определению aˣ = b. Прологарифмируем обе части равенства по допустимому основанию c: log꜀(aˣ) = log꜀ b. По свойству логарифма степени левая часть равна x · log꜀ a, поэтому x · log꜀ a = log꜀ b. Делим обе части на log꜀ a и получаем x = log꜀ b / log꜀ a, то есть формулу перехода.
Для нового основания нужны условия c > 0 и c ≠ 1: иначе логарифм по основанию c не определён. Аргументы в числителе и знаменателе — b и a — должны быть положительными; исходное основание a должно быть положительным и не равняться 1. Знаменатель log꜀ a не обращается в ноль: равенство log꜀ a = 0 означало бы a = c⁰ = 1, но исходное основание a не может быть равно 1. Так условия определения одновременно обеспечивают корректность деления.
Если калькулятор не умеет считать логарифм по основанию a, выбирают такое c, для которого логарифм посчитать можно. Чаще всего это 10 или e, потому что на калькуляторах есть клавиши lg и ln. Например, log₇ 12 можно записать как lg 12 / lg 7 или как ln 12 / ln 7. Выбирать основание можно по удобству, но оно всегда должно быть положительным и отличаться от 1.
Из общей формулы следует связь взаимно обратных логарифмов: logₐ b = log꜀ b / log꜀ a, а logᵦ a = log꜀ a / log꜀ b. Поэтому logₐ b = 1 / logᵦ a, если оба логарифма определены. Основания и аргументы a и b должны быть положительными и отличаться от 1 там, где они выступают основаниями. Значит, равенство нельзя применять, не проверив допустимость исходных логарифмов.
Формула помогает преобразовывать выражения с разными основаниями, если аргумент одного логарифма совпадает с основанием следующего. Например, logₐ b · logᵦ c = (log꜀ b / log꜀ a) · (log꜀ c / log꜀ b) = log꜀ c / log꜀ a = logₐ c. В середине выражения сокращаются одинаковые множители, а результат снова записывается как логарифм. Для применения цепочки нужны положительные a, b, c, причём каждое из них, используемое как основание, не должно равняться 1.
| Случай | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Переход к произвольному основанию c | logₐ b = log꜀ b / log꜀ a | a > 0, a ≠ 1, b > 0; c > 0, c ≠ 1 |
| Переход к десятичным логарифмам | logₐ b = lg b / lg a | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Переход к натуральным логарифмам | logₐ b = ln b / ln a | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Обратная формула для взаимно обратных логарифмов | logₐ b = 1 / logᵦ a | a > 0, b > 0; a ≠ 1, b ≠ 1 |
| Произведение логарифмов с согласованными основаниями | logₐ b · logᵦ c = logₐ c | a, b, c > 0; a ≠ 1, b ≠ 1 |
Сначала выбери строку, подходящую к задаче, и проверь перечисленные условия. При вычислении на калькуляторе удобнее воспользоваться строкой с lg или ln. В цепочке логарифмов следи, чтобы аргумент первого совпадал с основанием второго.
Нужно переписать логарифм так, чтобы использовать доступные на калькуляторе функции. Новое основание 10 допустимо, поэтому применяем формулу перехода. Значение можно получить отношением lg 8 и lg 2, а затем проверить по определению логарифма. Проверка полезна, потому что здесь результат оказывается целым числом.
Ответ: 3.
В первом логарифме основание 2, а аргумент 5; во втором основание 5. Число 5 совпадает с основанием первого логарифма и аргументом второго, поэтому выражение образует согласованную цепочку. Это позволяет объединить произведение в один логарифм. В результате вычисление становится проще.
Ответ: 4.
Неизвестная x находится внутри аргумента, поэтому сразу учитываем условие x > 0. Чтобы решить уравнение, сначала находим значение правой части через натуральные логарифмы, а затем возвращаемся к определению log₃ x. Поскольку правая часть — постоянное число, для x получаем степень числа 3. Подмена правого логарифма на логарифм с основанием 3 без дополнительного преобразования здесь не нужна.
Ответ: x = 3^(ln 9 / ln 5) ≈ 4,27.
При переходе иногда меняют местами числитель и знаменатель и записывают log꜀ a / log꜀ b. Это происходит из-за того, что забывают: в числителе должен стоять логарифм аргумента b, а в знаменателе — логарифм исходного основания a. Проверить порядок можно выводом из aˣ = b: после логарифмирования получается x · log꜀ a = log꜀ b, значит, x = log꜀ b / log꜀ a. Полезно также проверить пример log₂ 8: правильная формула даёт 3.
Другая ошибка — применять формулу, не проверив основания и аргументы. Логарифм может быть не определён, если основание неположительное или равно 1, либо аргумент неположительный. Перед преобразованием выпиши условия a > 0, a ≠ 1, b > 0 и c > 0, c ≠ 1; для логарифма от переменной отдельно найди область допустимых значений. Такая проверка нужна и для равенства взаимно обратных логарифмов.
Иногда считают, что в формуле перехода разрешено любое c. Но при c ≤ 0 или c = 1 логарифм по основанию c не определён, поэтому формула неприменима. Выбирай только c > 0, c ≠ 1; привычные варианты — 10 и e. Если в преобразовании присутствует несколько логарифмов, проверь допустимость каждого, а не только нового основания.
Цепочку logₐ b · logᵦ c = logₐ c нельзя использовать, если внутренние элементы не совпадают: аргумент первого логарифма должен быть тем же числом, что и основание второго. Ошибка возникает, когда формулу узнают по внешнему виду и не сверяют обозначения. Подставь числа в схему: logₐ b умножается на logᵦ c, и только тогда промежуточный множитель сокращается. Если в исходной записи другой порядок или другое основание, сначала преобразуй логарифмы по общей формуле.
Для этой темы нужны определение логарифма, ограничения на его основание и аргумент, а также свойства степеней: именно через равенство aˣ = b выводится формула перехода. Поэтому перед преобразованием важно уметь находить область допустимых значений логарифмического выражения. Переход к новому основанию используют при вычислениях на калькуляторе, упрощении выражений и решении логарифмических уравнений и неравенств. В уравнениях он помогает привести логарифмы к удобной форме, но сам по себе не отменяет проверку условий.
Зачем переходить к новому основанию логарифма?
Это позволяет вычислить логарифм на калькуляторе, где есть только клавиши lg или ln. Ещё переход помогает привести логарифмы к общему виду и упростить выражения.
Какое основание удобнее выбрать при вычислениях?
Обычно выбирают 10 или e, потому что на калькуляторах есть функции lg и ln. Можно выбрать и другое допустимое основание, если так вычисления становятся проще.
Почему при переходе к новому основанию получается дробь?
Если aˣ = b, то после логарифмирования по основанию c получаем x · log꜀ a = log꜀ b. Чтобы найти x, делим log꜀ b на log꜀ a.
Можно ли в формуле перехода выбрать любое основание?
Нет. Новое основание c должно быть положительным и не равняться 1. Кроме того, исходные основания и аргументы логарифмов тоже должны удовлетворять своим ограничениям.
Как связаны logₐ b и logᵦ a?
При допустимых a и b они являются взаимно обратными числами: logₐ b = 1 / logᵦ a. Это следует из формулы перехода к новому основанию, а не действует без ограничений на основания.
§ 46. Переход к новому основанию логарифма
