"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Производные показательных и логарифмических функций помогают исследовать, как быстро меняются процессы роста и убывания, и находить промежутки возрастания, убывания и экстремумы. Для функции aˣ производная зависит от основания: появляется множитель ln a. Особое основание e выбрано так, что производная eˣ равна самой функции. У логарифма производная обратно пропорциональна аргументу, а для сложных выражений нужно учитывать производную внутренней функции и область определения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная показательной функции y = aˣ при a > 0, a ≠ 1 задаётся формулой (aˣ)' = aˣ ln a. Множитель ln a показывает, как изменение основания влияет на скорость роста функции. Если a > 1, функция возрастает, а если 0 < a < 1, убывает, что согласуется со знаком ln a.
Число e — особое положительное число, приблизительно равное 2,718. Для него производная показательной функции совпадает с самой функцией: (eˣ)' = eˣ. Такое основание удобно в задачах о непрерывном росте и при вычислении производных, потому что дополнительный множитель равен единице.
Натуральным логарифмом называют логарифм по основанию e: ln x = logₑ x. Запись ln x читают «натуральный логарифм икс», а выражение определено только при x > 0. Натуральный логарифм нужен, в частности, чтобы выразить логарифм с любым основанием и записать производные в удобном виде.
Производная логарифмической функции при a > 0, a ≠ 1 равна (logₐ x)' = 1/(x ln a), где x > 0. Для натурального логарифма формула упрощается: (ln x)' = 1/x при x > 0. Условие на x связано не только с формулой производной: при неположительном аргументе сам логарифм не определён.
По определению производной для f(x) = aˣ рассматривают отношение приращения функции к приращению аргумента: ((aˣ⁺ʰ − aˣ)/h). Вынесем aˣ за скобки: получится aˣ · (aʰ − 1)/h. При h, стремящемся к нулю, первый множитель не меняется, поэтому вся задача сводится к пределу (aʰ − 1)/h.
Этот предел равен ln a, поэтому производная становится aˣ ln a. Предел отражает скорость изменения степенной части aʰ около единицы, когда приращение h очень мало. Именно поэтому в формуле не достаточно оставить только aˣ: темп изменения зависит от основания и учитывается множителем ln a.
Основание e выбирают так, чтобы предел (eʰ − 1)/h был равен единице. Тогда в формуле для производной множитель ln e равен 1, и получается (eˣ)' = eˣ. Натуральный логарифм связан с этим выбором: он позволяет записать нужный предел как ln a и превращает основание e в естественное основание для дифференцирования.
Чтобы получить производную logₐ x, используем связь логарифма с показательной функцией: если y = logₐ x, то x = aʸ. Дифференцируем равенство по x: 1 = aʸ ln a · y'. Отсюда y' = 1/(aʸ ln a), а так как aʸ = x, получаем 1/(x ln a); исходный логарифм и его производная рассматриваются при x > 0.
Сравнение формул показывает, что (ln x)' = 1/x, тогда как (logₐ x)' = 1/(x ln a). Различие возникает из-за основания: logₐ x = ln x / ln a, а ln a — постоянный множитель, который остаётся в знаменателе производной. Для сложного выражения u(x) применяют правило цепочки: сначала дифференцируют внешнюю функцию, затем умножают результат на u'(x).
| Функция | Условия | Производная |
|---|---|---|
| y = aˣ | a > 0, a ≠ 1 | y' = aˣ ln a |
| y = eˣ | e — основание натурального логарифма | y' = eˣ |
| y = logₐ x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 | y' = 1/(x ln a) |
| y = ln x | x > 0 | y' = 1/x |
| y = aᵘ⁽ˣ⁾ | a > 0, a ≠ 1 | y' = aᵘ⁽ˣ⁾ ln a · u'(x) |
| y = ln u(x) | u(x) > 0 | y' = u'(x)/u(x) |
Сначала найдите нужную строку по виду функции и проверьте условия, особенно положительность аргумента логарифма. Если вместо x в показателе или аргументе стоит выражение, используйте строку со сложной функцией и умножьте на производную этого выражения. При произведении двух функций к формулам из таблицы добавьте правило производной произведения.
Задача 1. Найти производную функции y = 3ˣ.
Ответ: y' = 3ˣ ln 3.
Задача 2. Найти производную функции y = ln(2x + 1) и указать область определения.
Ответ: область определения x > −½; y' = 2/(2x + 1).
Задача 3. Найти производную функции y = 5ˣ² · log₂(x − 1) и указать область определения.
Ответ: область определения x > 1; y' = 2x·5ˣ² ln 5·log₂(x − 1) + 5ˣ²/((x − 1) ln 2).
Ошибка: записывают (aˣ)' = aˣ для любого основания. Так происходит, когда формулу для eˣ переносят на все показательные функции, хотя множитель ln a зависит от основания. Проверьте ответ подстановкой основания: при a = 3 должен появиться множитель ln 3, а без него формула верна только для a = e.
Ошибка: путают производную логарифма с логарифмом производной и пишут (ln u)' = ln(u'). Причина — стремление применить к логарифму правило, которого нет. Проверка: запишите формулу цепочки (ln u)' = u'/u; например, для ln(2x + 1) результат равен 2/(2x + 1), а не ln 2.
Ошибка: забывают производную внутренней функции в aᵘ⁽ˣ⁾ или ln u(x). Обычно это происходит, когда выражение внутри скобок принимают за сам аргумент x. Найдите отдельно производную показателя или аргумента и умножьте на неё результат для внешней функции: например, у 5ˣ² появляется множитель 2x.
Ошибка: дифференцируют логарифм, не проверив его область определения. Это возможно, если внимание сосредоточено только на формуле, а не на исходной функции. Перед вычислениями решите неравенство «аргумент логарифма > 0» и укажите допустимые значения x; только на них формула применима.
Для этой темы нужны определение производной, правила дифференцирования и правило цепочки: они объясняют вывод формул и работу со сложными выражениями. Также важно знать свойства степеней и логарифмов, включая равенство logₐ x = ln x / ln a. Формулы используют при исследовании функций и поиске промежутков возрастания и убывания, экстремумов. Они также помогают строить математические модели процессов роста и решать прикладные задачи.
Почему производная e^x равна самой функции?
Производная aˣ равна aˣ ln a. Число e выбрано так, что ln e = 1, поэтому множитель исчезает и (eˣ)' = eˣ.
Чем отличается производная a^x от производной e^x?
Для общего основания a производная равна aˣ ln a, а для основания e — eˣ. Разница в множителе: ln e = 1, но ln a не обязательно равен единице.
Почему в производной log_a x появляется ln a?
Логарифм можно записать как logₐ x = ln x / ln a. При дифференцировании ln a остаётся постоянным делителем, поэтому получается 1 / (x ln a).
Как найти производную логарифма от сложного выражения?
Сначала проверьте, что выражение внутри логарифма положительно. Затем используйте правило цепочки: (ln u(x))' = u'(x) / u(x), а для logₐ u(x) результат нужно дополнительно разделить на ln a.
Нужно ли учитывать область определения при нахождении производной логарифма?
Да. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому это условие задаёт область, где функция определена и можно применять формулу производной.
§ 47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций
