"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Показательная функция имеет переменную в показателе степени, а логарифмическая обратна ей. Их производные помогают исследовать рост функций, находить касательные и решать задачи на экстремумы. Для aˣ производная зависит от основания и содержит множитель ln a; у eˣ этот множитель равен единице. Производная логарифма равна обратному аргументу с учётом основания. Если вместо x стоит выражение, дополнительно применяют правило цепочки и проверяют допустимость аргумента.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательная функция записывается как y = aˣ, где a — постоянное основание, удовлетворяющее условиям a > 0 и a ≠ 1. Переменная x стоит в показателе степени, поэтому изменение x меняет значение функции по особому, экспоненциальному закону. Условие a > 0 позволяет определять степень для любого действительного x, а случай a = 1 исключён, потому что функция тогда постоянна. Это обозначение понадобится, чтобы отличать основание от переменной и правильно применять формулу производной.
Логарифмическая функция y = logₐx обратна показательной функции с тем же основанием: равенство y = logₐx означает, что aʸ = x. Для неё требуются a > 0, a ≠ 1 и x > 0, поскольку значение показательной функции с таким основанием всегда положительно. Поэтому логарифм определён только для положительного аргумента. Понимание взаимной обратности помогает вывести производную логарифма, а не просто запомнить её.
Число e — особое положительное число, приблизительно равное 2,71828; оно служит основанием натурального логарифма ln x. Для показательной функции с этим основанием производная совпадает с исходной функцией: (eˣ)′ = eˣ. Такая особенность делает e удобным основанием при вычислениях и описании непрерывного роста. Обозначение ln x означает logₑx.
Производные логарифмических функций задаются формулами (ln x)′ = 1/x и (logₐx)′ = 1/(x ln a). Они применимы при x > 0; во второй формуле дополнительно требуются a > 0 и a ≠ 1. Эти условия относятся к самой функции, поэтому проверяются до дифференцирования. Формулы показывают, что производная логарифма зависит и от его аргумента, и, если основание не равно e, от основания.
Чтобы понять формулу для aˣ, можно воспользоваться определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Для приращения h это отношение равно aˣ(aʰ − 1)/h, поэтому постоянный множитель aˣ можно вынести за знак предела. Оставшийся предел при h, стремящемся к нулю, равен ln a: именно так натуральный логарифм связан с темпом изменения степеней. Значит, (aˣ)′ = aˣ ln a, а основание влияет на скорость роста или убывания функции.
Основание e выбирают так, чтобы предел (aʰ − 1)/h при h → 0 был равен единице. Это свойство числа e можно выразить формулой ln e = 1. Поэтому множитель ln a в общей формуле для показательной функции при a = e исчезает: (eˣ)′ = eˣ. Благодаря этому экспонента особенно удобна в формулах, где требуется, чтобы скорость изменения функции была равна её значению.
Для вывода производной логарифма используют взаимную обратность: если y = ln x, то x = eʸ. Дифференцируя последнее равенство по x, получаем 1 = eʸ · y′, откуда y′ = 1/eʸ = 1/x. Аргумент x обязан быть положительным, поскольку только положительные числа могут быть значениями eʸ; за пределами этой области исходная функция не определена. Так формула производной согласуется с областью определения логарифма.
Логарифм с любым допустимым основанием можно заменить натуральным логарифмом: logₐx = ln x/ln a. Знаменатель ln a — ненулевая постоянная, поскольку a ≠ 1, поэтому при дифференцировании остаётся множитель 1/ln a. Подставляя (ln x)′ = 1/x, получаем (logₐx)′ = 1/(x ln a). Такой переход к новому основанию сводит задачу к уже известной формуле для ln x.
Если вместо x в показатель или аргумент подставлено выражение u(x), работает правило цепочки: сначала учитывают производную внешней функции, затем умножают на производную внутренней. Для показательной функции это даёт (aᵘ)′ = aᵘ ln a · u′, а для натурального логарифма — (ln u)′ = u′/u. Для logₐu производная равна u′/(u ln a). Логарифмические формулы применяют только там, где u(x) > 0, поэтому область определения проверяют отдельно.
| Функция | Условия | Производная |
|---|---|---|
| y = aˣ | a > 0, a ≠ 1 | y′ = aˣ ln a |
| y = eˣ | x ∈ ℝ | y′ = eˣ |
| y = ln x | x > 0 | y′ = 1/x |
| y = logₐx | x > 0, a > 0, a ≠ 1 | y′ = 1/(x ln a) |
| y = aᵘ⁽ˣ⁾ или eᵘ⁽ˣ⁾ | a > 0, a ≠ 1; для e основание равно e | y′ = aᵘ ln a · u′ или y′ = eᵘ · u′ |
| y = ln u(x) или logₐu(x) | u(x) > 0; для logₐ также a > 0, a ≠ 1 | y′ = u′/u или y′ = u′/(u ln a) |
Сначала найдите строку, соответствующую виду функции, а затем проверьте указанные условия. Если в формуле есть u(x), не забудьте умножить на производную внутреннего выражения u′(x). Для произведения двух функций дополнительно используйте правило произведения.
Найти производную функции y = 3ˣ. Здесь основание постоянно и равно 3, а переменная находится в показателе. Поэтому подходит формула производной aˣ, а не формула для eˣ. Подставим основание в общую формулу.
Множитель ln 3 не равен единице, поэтому его нельзя опустить. Ответ: y′ = 3ˣ ln 3.
Найти производную y = ln(2x + 1) и указать область определения. Внешняя функция здесь — натуральный логарифм, а внутреннее выражение u(x) = 2x + 1. Сначала найдём, при каких x логарифм существует, и лишь затем применим правило цепочки. Так условие для аргумента не потеряется при вычислениях.
Производная определена на области исходной функции, то есть при x > −½. Ответ: y′ = 2/(2x + 1), область определения функции — (−½; +∞).
Найти производную y = 2ˣ log₃(x² + 1). Это произведение показательной функции и логарифма, поэтому понадобится правило произведения. В логарифмическом множителе аргумент сложный, но x² + 1 положителен при любом x. Значит, область определения — все действительные числа, и можно дифференцировать оба множителя.
Получаем y′ = 2ˣ(ln 2 · log₃(x² + 1) + 2x/((x² + 1) ln 3)). Здесь учтены и производная показательного множителя, и производная внутреннего выражения логарифма. Ответ: y′ = 2ˣ(ln 2 · log₃(x² + 1) + 2x/((x² + 1) ln 3)), x ∈ ℝ.
Ошибка: записать (aˣ)′ = aˣ и забыть ln a. Её часто допускают, перенося формулу для eˣ на любое основание. Проверьте себя подстановкой a = 3: должно получиться 3ˣ ln 3, а множитель исчезает только при a = e.
Ошибка: считать, что (logₐx)′ = 1/x при любом основании. Так происходит, если не замечают, что обычный логарифм может иметь основание, отличное от e. Сверьте результат с переходом logₐx = ln x/ln a: он даёт множитель 1/ln a. Только при a = e этот множитель равен единице.
Ошибка: при дифференцировании ln u(x) написать только 1/u(x). Это результат для производной внешней функции по её аргументу, но аргумент сам зависит от x. Проверьте, есть ли в ответе множитель u′(x), как требует правило цепочки; например, для ln(2x + 1) он равен 2.
Ошибка: применять формулу производной логарифма, не проверив знак аргумента. Иногда вычисление начинают сразу, хотя логарифм определён только при положительном аргументе. Перед дифференцированием решите неравенство u(x) > 0 и укажите область определения. Если условие не выполнено, функция и её производная в этой точке не существуют.
Для работы с этими производными нужны определение производной и правила дифференцирования суммы, произведения и сложной функции. Свойства показательной и логарифмической функций объясняют взаимную обратность, а переход к новому основанию позволяет свести logₐx к ln x. Без этих знаний трудно вывести формулы и применять их к составным выражениям. Полученные производные используют при исследовании функций, поиске касательных и решении задач на экстремумы.
Почему производная aˣ зависит от основания?
Изменение степени на небольшую величину умножает значение aˣ на коэффициент, зависящий от основания. В результате в производной появляется ln a: (aˣ)′ = aˣ ln a.
Чем особенное число e отличается от других оснований?
Для числа e выполняется ln e = 1. Поэтому производная eˣ равна самой функции eˣ, без дополнительного множителя.
Почему производная ln x равна 1/x?
Функция ln x обратна экспоненте eˣ. По правилу производной обратной функции её производная равна единице, делённой на производную eˣ в соответствующей точке, то есть 1/x при x > 0.
Как найти производную логарифма с основанием, отличным от e?
Сначала представьте логарифм через натуральный: logₐx = ln x / ln a. Поскольку ln a — постоянное число, получаем (logₐx)′ = 1/(x ln a), где x > 0, a > 0 и a ≠ 1.
Как дифференцировать показательную или логарифмическую функцию со сложным аргументом?
Для показательной функции aᵘ производную находят по формуле aᵘ ln a · u′. Для логарифма ln u или logₐu сначала дифференцируют внутреннее выражение u, затем делят на u или на u ln a соответственно; для логарифма также требуется u > 0.
§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций
