"Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)", Мордкович А.Г., Семенов П.В.
Первообразная — функция, производная которой равна заданной функции. Найти её — значит восстановить функцию по её производной, то есть решить обратную задачу дифференцирования. Поскольку производная постоянной равна нулю, у одной функции есть целое семейство первообразных, отличающихся на постоянную. Это семейство записывают как неопределённый интеграл. Чтобы вычислять его, используют таблицу первообразных и свойства линейности, а результат проверяют дифференцированием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразной функции f на промежутке называют функцию F, производная которой на этом промежутке равна f. Это записывают так: F′(x) = f(x), где штрих обозначает производную. Например, для f(x) = 2x первообразной служит F(x) = x², потому что (x²)′ = 2x. Такое определение позволяет проверять найденную функцию с помощью дифференцирования.
Неопределённый интеграл — множество всех первообразных функции f. Его обозначают ∫f(x) dx; если F — одна первообразная, то ∫f(x) dx = F(x) + C. Буква C означает произвольное число, поскольку производная постоянной равна нулю. Значит, запись интеграла описывает не одну функцию, а целое семейство.
В записи ∫f(x) dx функцию f(x) называют подынтегральной функцией, а dx — дифференциалом переменной x. Он указывает, по какой переменной нужно искать первообразную. Это особенно полезно, когда в выражении встречаются разные переменные: например, ∫f(t) dt означает интегрирование по t. Буква переменной может быть другой, если она согласована с записью подынтегральной функции.
Постоянная интегрирования C — произвольное число, которое прибавляют к одной найденной первообразной, чтобы записать все первообразные. Если F′(x) = f(x), то и (F(x) + C)′ = f(x) при любом C. Поэтому выражение F(x) + C является общим ответом на задачу интегрирования. Конкретное значение C можно определить, если дополнительно задано значение первообразной в точке.
Производная показывает, как меняется функция, а первообразная помогает восстановить саму функцию по этому изменению. Поэтому нахождение первообразной называют обратной задачей дифференцирования. Например, если известно, что производная равна 2x, нужно подобрать функцию, производная которой даёт 2x. Так как (x²)′ = 2x, подходит x², а добавление постоянной результата не меняет.
Пусть F и G — две первообразные одной функции f на промежутке. Тогда F′ = f и G′ = f, поэтому производная разности равна (F − G)′ = F′ − G′ = f − f = 0. Функция с нулевой производной на промежутке постоянна, значит, F − G = C. Отсюда следует, что все первообразные имеют вид F + C, а не только одну формулу без постоянной.
Интеграл суммы и постоянный множитель работают по тем же причинам, что и соответствующие правила дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной; при обратном переходе получаем ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx и ∫k f(x) dx = k∫f(x) dx. Благодаря этому сложное выражение можно разбить на более простые слагаемые. Затем к каждому слагаемому применяют подходящую табличную формулу.
Табличные первообразные обосновывают проверкой: дифференцируют предполагаемый результат и получают исходную функцию. Для xⁿ при n ≠ −1 подходит xⁿ⁺¹/(n + 1), потому что его производная равна (n + 1)xⁿ/(n + 1) = xⁿ. При n = −1 знаменатель стал бы нулём, поэтому функцию 1/x рассматривают отдельно: производная ln|x| равна 1/x на промежутках, не содержащих ноль. Остальные формулы также следуют из известных производных: например, (−cos x)′ = sin x и (sin x)′ = cos x.
Чтобы вычислить неопределённый интеграл, сначала распознают подынтегральную функцию и переменную интегрирования. Затем выбирают табличную формулу или применяют линейность, чтобы разложить выражение на удобные слагаемые. После вычисления обязательно добавляют + C, иначе ответ не будет включать все первообразные. Завершить решение можно проверкой: продифференцировать результат и сравнить его с подынтегральной функцией.
| Подынтегральная функция f(x) | Первообразная F(x) | Неопределённый интеграл |
|---|---|---|
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) | ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| | ∫(1/x) dx = ln|x| + C |
| eˣ | eˣ | ∫eˣ dx = eˣ + C |
| aˣ, a > 0, a ≠ 1 | aˣ/ln a | ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x | ∫sin x dx = −cos x + C |
| cos x | sin x | ∫cos x dx = sin x + C |
Сначала сопоставьте подынтегральную функцию с первым столбцом, а затем выберите соответствующую формулу из третьего. Для суммы применяйте формулы отдельно к каждому слагаемому, используя линейность интеграла. Условия при xⁿ и 1/x проверяйте до подстановки: для показателя −1 нужна отдельная формула.
Найти ∫(3x² − 2) dx. Выражение состоит из двух слагаемых, поэтому применим линейность: проинтегрируем каждое отдельно, сохраняя постоянные множители. Для x² используем степенную формулу, а постоянная −2 имеет первообразную −2x. В конце объединим результаты и добавим одну произвольную постоянную.
Ответ: ∫(3x² − 2) dx = x³ − 2x + C. Проверка даёт (x³ − 2x + C)′ = 3x² − 2, то есть исходную подынтегральную функцию. Постоянная исчезла при дифференцировании, как и должно быть.
Найти ∫(4cos x + 3eˣ) dx. Здесь каждое слагаемое соответствует отдельной табличной формуле, а коэффициенты 4 и 3 можно вынести за знак интеграла. Важно не перепутать знак первообразной синуса и косинуса: для cos x первообразная равна sin x. После интегрирования слагаемые складываем.
Ответ: 4sin x + 3eˣ + C. При проверке производная первого слагаемого равна 4cos x, а второго — 3eˣ. Их сумма совпадает с подынтегральной функцией.
Найти первообразную функции f(x) = 2x − 3/x², если её график проходит через точку (1; 4). Условие о точке означает, что искомая функция принимает значение 4 при x = 1. Сначала найдём все первообразные, не подставляя точку, а затем используем её координаты, чтобы выбрать одну функцию из семейства. Запишем дробь как степень: −3/x² = −3x⁻².
Ответ: F(x) = x² + 3/x. Проверка производной даёт 2x − 3/x², а значение при x = 1 равно 4. Значит, функция удовлетворяет обоим условиям задачи.
Записывают только одну первообразную, например x² для функции 2x, и забывают + C. Так теряются другие подходящие функции, например x² + 5, потому что их производные тоже равны 2x. Ошибку предотвращает вопрос: указаны ли все первообразные, а не одна? Проверка состоит в том, чтобы прибавить к результату произвольную постоянную и убедиться, что производная не изменится.
В степенной формуле иногда оставляют прежний показатель в знаменателе: пишут ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n. Ошибка возникает из-за того, что показатель степени увеличивают на единицу, но забывают изменить и знаменатель. Правильный знаменатель — n + 1, так как производная xⁿ⁺¹ равна (n + 1)xⁿ. Проверяйте ответ дифференцированием и убедитесь, что множитель n + 1 сокращается.
Формулу для степенной функции применяют к 1/x, считая её случаем n = −1. Тогда в знаменателе возникает −1 + 1 = 0, и вычисление становится невозможным; формула действительно не подходит. Для 1/x используют ln|x|, потому что производная логарифма равна 1/x на промежутке без нуля. Проверяйте показатель: степень −1 — сигнал перейти к отдельной формуле.
При интегрировании тригонометрических функций могут поменять местами формулы или потерять знак. Например, записывают первообразную sin x как cos x, хотя (cos x)′ = −sin x. Правильно: для sin x берут −cos x, а для cos x — sin x. Надёжная проверка — продифференцировать ответ и отдельно сверить знак каждого слагаемого.
Для работы с первообразными нужно знать производную и правила дифференцирования: именно ими проверяют результат и обосновывают табличные формулы. Если правило производной суммы или степенной функции уже знакомо, соответствующее правило интегрирования становится понятнее как обратный переход. Неопределённый интеграл используют при изучении определённого интеграла и вычислении площадей. Он также помогает в задачах, где требуется восстановить функцию по её производной и дополнительному условию.
Почему после вычисления неопределённого интеграла обязательно пишут + C?
Производная любой постоянной равна нулю, поэтому к найденной первообразной можно прибавить любое число и получить другую первообразную той же функции. Запись + C включает в ответ все такие функции.
Чем первообразная отличается от неопределённого интеграла?
Первообразная — одна функция F, для которой F′(x) = f(x). Неопределённый интеграл — множество всех первообразных; его записывают как ∫f(x) dx = F(x) + C.
Как проверить, правильно ли найден интеграл?
Нужно продифференцировать полученный результат. Если после дифференцирования выходит подынтегральная функция, первообразная найдена верно.
Почему формула для интеграла x^n не работает при n = −1?
При подстановке n = −1 в формулу появляется деление на n + 1, то есть на ноль. Для функции 1/x используют отдельную первообразную ln|x| на промежутках, не содержащих ноль.
Как найти конкретную первообразную, если задано её значение в точке?
Сначала находят общее семейство первообразных с постоянной C. Затем подставляют координаты заданной точки и значение функции, чтобы составить уравнение и определить C.
§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл
