5.3. Логарифмическая функция

Определения и обозначения

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐb = y означает aʸ = b. Основание должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1, а число b — условию b > 0. Например, log₂8 = 3, потому что 2³ = 8. Это определение позволяет заменять логарифмическую запись показательной и обратно.

Логарифмическая функция записывается так: y = logₐx. Здесь a — постоянное основание логарифма, а x — переменная, то есть аргумент функции; значение y показывает, в какую степень надо возвести a, чтобы получить x. Основание задаёт поведение функции, а аргумент определяет, для какого числа находится логарифм. Такое обозначение удобно, когда нужно исследовать зависимость показателя степени от результата возведения в степень.

Область определения функции y = logₐx — все положительные числа, то есть x > 0. Её область значений — все действительные числа: показатель степени может быть любым действительным числом, а aʸ при этом остаётся положительным. Эти условия сразу показывают, какие значения допустимы при построении графика и решении задач. Поэтому для выражений с логарифмами сначала проверяют, что каждый аргумент положителен.

Как это устроено

Равенство y = logₐx означает, что aʸ = x, поэтому логарифмическая функция обращает действие показательной: из значения степени восстанавливает показатель. Именно поэтому функции y = logₐx и y = aˣ называют взаимно обратными. Например, если 2³ = 8, то log₂8 = 3. Эта связь помогает переходить от логарифмов к степеням, когда нужно решить уравнение.

Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому в функции y = logₐx допустимы лишь x > 0. При x = 0 или x < 0 не существует действительного показателя y, для которого aʸ равнялось бы такому числу: степень положительного основания всегда положительна. Следовательно, график целиком расположен справа от оси y и не может её пересечь. При приближении x к нулю справа значения функции неограниченно уходят вверх или вниз, поэтому прямая x = 0 служит вертикальной асимптотой.

Направление изменения функции определяется основанием. При a > 1 увеличение показателя степени увеличивает значение aʸ, поэтому обратная зависимость y = logₐx тоже возрастает: большему x соответствует больший показатель. При 0 < a < 1 увеличение показателя, наоборот, уменьшает aʸ, и логарифмическая функция убывает. Отсюда следует правило для неравенств: переход через убывающую функцию меняет направление знака.

График проходит через точку (1; 0), так как a⁰ = 1, а значит logₐ1 = 0. Ещё одна удобная точка — (a; 1): значение логарифма основания равно единице, поскольку a¹ = a. Эти точки помогают проверить построение графика и его расположение. При x, стремящемся к нулю справа, график приближается к вертикальной асимптоте x = 0.

Графики взаимно обратных функций y = logₐx и y = aˣ симметричны относительно прямой y = x. Действительно, у соответствующих точек координаты меняются местами: если на одном графике есть точка (u; v), то на другом — (v; u). Такая перестановка координат и означает отражение относительно прямой, на которой x = y. Этот способ позволяет получить график логарифмической функции из уже известного графика показательной.

Свойства функции y = logₐx

Сначала определите, к какому столбцу относится основание, и найдите в нём нужное свойство. Область определения, множество значений, точка пересечения и асимптота одинаковы для обоих случаев. Отличается монотонность: именно её учитывают при сравнении значений и решении неравенств.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = log₃x укажите область определения и значений, монотонность и координаты точек пересечения с осями. Основание 3 больше единицы, значит, функция возрастает. Чтобы найти пересечение с осью x, положим y = 0; для пересечения с осью y понадобилось бы положить x = 0, что проверить нужно с учётом области определения.

1. Аргумент логарифма должен быть положителен, поэтому область определения: x > 0.
2. Поскольку основание 3 больше 1, функция возрастает; область значений — все действительные числа.
3. При y = 0 имеем log₃x = 0, откуда x = 3⁰ = 1. При x = 0 логарифм не определён, значит, пересечения с осью y нет.

Ответ: область определения (0; +∞), область значений — ℝ, функция возрастает, пересекает ось x в точке (1; 0), ось y не пересекает.

Задача 2. Решите уравнение log₂(x − 1) = 3. Сначала проверим, при каких x левая часть вообще определена, а затем используем определение логарифма. В результате получим уравнение на аргумент, которое нужно решить вместе с условием допустимости. Так мы не включим в ответ значение, при котором исходный логарифм не существует.

1. Область допустимых значений задаётся условием x − 1 > 0, то есть x > 1.
2. По определению логарифма log₂(x − 1) = 3 равносильно x − 1 = 2³.
3. Получаем x − 1 = 8, откуда x = 9. Это значение удовлетворяет условию x > 1.

Ответ: x = 9.

Задача 3. Решите неравенство log₁⁄₂(x + 2) > −1. До преобразований найдём допустимые x: аргумент должен быть положительным. Основание ½ находится между 0 и 1, следовательно, логарифмическая функция убывает; при переходе к сравнению аргументов направление знака изменится. Затем объединим полученный результат с областью допустимых значений.

1. Условие существования логарифма: x + 2 > 0, то есть x > −2.
2. Так как функция убывает, из log₁⁄₂(x + 2) > log₁⁄₂(½) следует x + 2 < ½. Здесь log₁⁄₂(½) = −1.
3. Решаем x + 2 < ½ и получаем x < −3⁄2. Пересечение с условием x > −2 даёт −2 < x < −3⁄2.

Ответ: x ∈ (−2; −3⁄2).

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать допустимыми ноль и отрицательные значения аргумента. Её допускают, если забывают, что степень положительного основания всегда положительна и потому логарифм такого числа не существует. Перед решением выпишите условие: выражение под каждым знаком логарифма должно быть больше нуля. После решения проверьте, что найденные значения ему удовлетворяют.

Вторая ошибка — использовать основание a ≤ 0 или a = 1. Иногда условия на основание просто не записывают, хотя без них определение логарифма не работает: неположительное основание нельзя возводить в произвольную действительную степень, а 1 в любой степени остаётся единицей. Проверяйте основание до применения свойств: требуется a > 0 и a ≠ 1. Если условие нарушено, функция в обычном действительном смысле не определена.

Третья ошибка — считать логарифмическую функцию возрастающей при любом основании. Это происходит, если запомнить только случай a > 1 и не рассмотреть основания между нулём и единицей. Сравните основание с единицей: при a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Проверить выбор можно по графику или по тому, как меняется aʸ при увеличении y.

Четвёртая ошибка — оставить знак неравенства прежним при переходе через убывающую логарифмическую функцию. Это ведёт к противоположному результату, потому что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Перед сравнением отметьте, больше или меньше единицы основание; если функция убывает, знак меняется на противоположный. В конце отдельно учтите область допустимых значений.

Связь с другими темами

Для изучения логарифмической функции нужны определение логарифма и свойства степеней: без них нельзя перейти от записи logₐx к равенству aʸ = x. Также полезно знать график показательной функции, поскольку логарифмический график получается его отражением относительно прямой y = x. Эти связи позволяют не заучивать все свойства отдельно, а выводить их из уже знакомых фактов.

Логарифмическая функция станет основой для решения логарифмических уравнений и неравенств. В них важно учитывать область допустимых значений и монотонность, чтобы правильно преобразовывать выражения. Логарифмические преобразования также позволяют находить неизвестные показатели степени в задачах, где обычного сравнения степеней недостаточно.

Что запомнить

• В функции y = logₐx основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1.
• Аргумент логарифма должен быть положительным: x > 0.
• Область значений логарифмической функции — все действительные числа.
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• График проходит через точку (1; 0) и имеет вертикальную асимптоту x = 0.
• Логарифмическая и показательная функции с одним основанием взаимно обратны.